Förvrängningsriskmått

Inom finansiell matematik och ekonomi är ett snedvridningsriskmått en typ av riskmått som är relaterat till den kumulativa fördelningsfunktionen för avkastningen på en finansiell portfölj .

Matematisk definition

Funktionen $\rho _{g}:L^{p}\to \mathbb {R}$ associerad med distorsionsfunktionen ${\ displaystyle g:[0,1]\to [0,1]}$ är ett förvrängningsriskmått om för någon slumpmässig variabel för vinster $X\in L^{p}$ (där ${\ displaystyle L^{p}}$ är L ^p -utrymmet ) då

$\rho _{g}(X)=-\int _{0}^{1}F_{-X}^{-1}(p)d{\tilde {g}} (p)=\int _{-\infty }^{0}{\tilde {g}}(F_{-X}(x))dx-\int _{0}^{\infty }g(1- F_{-X}(x))dx$

där $F_{-X}$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för $-X$ och ${\tilde {g}}$ är den dubbla distorsionsfunktionen ${\tilde {g}}(u)=1-g(1-u)$ .

Om $X\leq 0$ nästan säkert så ges ${\displaystyle \rho _{g}} av$ Choquet-integralen , dvs ${\displaystyle \rho _{g}(X)=-\int _{0}^{\infty }g(1-F_{-X}(x))dx.} Motsvarande$ , ${\displaystyle \rho _{g}(X)=\mathbb {E} ^{\mathbb {Q} }[-X]} så att$ Q $\displaystyle \mathbb {Q} }$ är sannolikhetsmått genererat av $g$ , dvs. för valfri $A\i {\mathcal {F}}$ sigma -algebra då ${\ displaystyle \mathbb {Q} (A)=g(\mathbb {P} (A))}$ .

Egenskaper

Utöver egenskaperna hos allmänna riskåtgärder har snedvridningsriskmått också:

1. Laginvariant : Om fördelningen av $X$ och $Y$ är densamma så är $\rho _{g}(X)=\rho _{g}(Y)$ .
2. Monotone med avseende på första ordningens stokastisk dominans .
   1. Om $g$ är en konkav distorsionsfunktion, så är $\rho _{g}$ monoton med avseende på andra ordningens stokastisk dominans.
3. $g$ är en konkav distorsionsfunktion om och endast om $\rho _{g}$ är ett koherent riskmått .

Exempel

• Value at risk är ett distorsionsriskmått med tillhörande distorsionsfunktion $g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text{if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{case}}.$
• Conditional value at risk är ett distorsionsriskmått med tillhörande distorsionsfunktion $g(x)={\begin{cases}{\frac {x}{1-\alpha }}&{\text{if }}0\leq x<1-\alpha \\1&{\text {if }}1-\alpha \leq x\leq 1\end{cases}}.$
• Den negativa förväntan är ett snedvridningsriskmått med tillhörande förvrängningsfunktion $g(x)=x$ .

Se även

• Riskmått
• Sammanhängande riskmått
• Avvikelse riskmått
• Spektral riskmått

• Wu, Xianyi; Xian Zhou (7 april 2006). "En ny karakterisering av snedvridningspremier via räknebar additivitet för komonotoniska risker". Försäkring: Matematik och ekonomi . 38 (2): 324–334. doi : 10.1016/j.insmatheco.2005.09.002 .