Spektral riskmått

Ett spektralriskmått är ett riskmått som ges som ett vägt genomsnitt av utfall där dåliga utfall vanligtvis ingår med större vikter. Ett spektralriskmått är en funktion av portföljavkastningen och utmatar mängden numeraire ( vanligtvis en valuta ) som ska hållas i reserv. Ett spektralriskmått är alltid ett sammanhängande riskmått , men det omvända gäller inte alltid. En fördel med spektrala mått är det sätt på vilket de kan relateras till riskaversion , och särskilt till en nyttofunktion , genom de vikter som ges till möjlig portföljavkastning.

Definition

Betrakta en portfölj $X$ (som anger portföljens utdelning). Sedan ett spektralriskmått $M_{\phi }:{\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$ där $\phi$ är icke-negativ, icke- ökande, högerkontinuerlig , integrerbar funktion definierad på $[0,1]$ så att $\int _{0}^{1}\phi (p)dp=1$ definieras av

$M_{\phi }(X)=-\int _{0}^{1}\phi (p) F_{X}^{-1}(p)dp$

där $F_{X}$ är den kumulativa fördelningsfunktionen för X .

Om det finns $S$ likvärdiga utfall med motsvarande utdelning som ges av orderstatistiken $X_{1:S},...X_{S:S}$ . Låt $\phi \in \mathbb {R} ^{S}$ . Måttet $M_{\phi }:\mathbb {R} ^{S}\rightarrow \mathbb {R}$ definierat av ${\displaystyle M_{\phi }(X)=-\delta \sum _{s=1}^{S}\phi _{s}X_{s:S}} är$ ett spektralmått av risk om $\phi \in \mathbb {R} ^{S}$ uppfyller villkoren

1. Icke-negativitet: $\phi _{s}\geq 0$ för alla $s=1,\dots ,S$ ,
2. Normalisering: $\sum _{s=1}^{S}\phi _{s}=1$ ,
3. Monotonicitet : $\phi _{s}$ är icke-ökande, det vill säga $\phi _{s_{1}}\geq \phi _{s_{2} }$ om ${s_{1}}<{s_{2}}$ och ${s_{1}},{ s_{2}}\in \{1,\dots ,S\}$ .

Egenskaper

Spectrala riskmått är också sammanhängande . Varje spektralriskmått $\rho :{\mathcal {L}}\to \mathbb {R}$ uppfyller:

1. Positiv homogenitet: för varje portfölj X och positivt värde $\lambda >0$ , $\rho (\lambda X)=\lambda \rho (X)$ ;
2. Translation-invarians: för varje portfölj X och $\alpha \in \mathbb {R}$ , $\rho (X+a)= \rho (X)-a$ ;
3. Monotonicitet: för alla portföljer X och Y så att $X\geq Y$ , $\rho (X)\leq \rho (Y)$ ;
4. Sub-additivitet: för alla portföljer X och Y , $\rho (X+Y)\leq \rho (X)+\rho (Y)$ ;
5. Lag-invarians: för alla portföljer X och Y med kumulativa fördelningsfunktioner $F_{X}$ respektive $F_{Y}$ , om $F_{X} =F_{Y}$ sedan $\rho (X)=\rho (Y)$ ;
6. Komonotonisk additivitet: för varje komonotonisk stokastisk variabel X och Y , $\rho (X+Y)=\rho (X)+\rho (Y)$ . Observera att X och Y är sammonotoniska om för varje $\omega _{1},\omega _{2}\i \Omega :\;(X(\omega _{2})-X(\omega _{1}))(Y(\omega _{2})- Y(\omega _{1}))\geq 0$ .

I vissa texter indata X tolkas som förluster snarare än utdelning av en portfölj. I detta fall skulle translation-invarians-egenskapen ges av $\rho (X+a)=\rho (X)+a$ och monotonisitetsegenskapen genom $X\geq Y\implicerar \rho (X)\geq \rho (Y)$ istället för ovanstående.

Exempel

• Det förväntade underskottet är ett spektralt mått på risk.
• Det förväntade värdet är trivialt ett spektralt mått på risk.

Se även

• Förvrängningsriskmått