Stokastisk dominans

För annan användning, se Dominans .

Stokastisk dominans är en partiell ordning mellan slumpvariabler . Det är en form av stokastisk beställning . Konceptet uppstår i beslutsteori och beslutsanalys i situationer där ett spel (en sannolikhetsfördelning över möjliga utfall, även kallat prospects) kan rankas som överlägset ett annat spel för en bred klass av beslutsfattare. Den är baserad på delade preferenser angående uppsättningar av möjliga utfall och deras associerade sannolikheter. Endast begränsad kunskap om preferenser krävs för att bestämma dominans. Riskaversion är en faktor endast i andra ordningens stokastiska dominans.

Stokastisk dominans ger inte en total ordning , utan snarare bara en partiell ordning : för vissa par av hasardspel dominerar ingen stokastiskt den andra, eftersom olika medlemmar av den breda klassen av beslutsfattare skiljer sig åt om vilket spel som är att föredra utan dem generellt anses vara lika attraktiva.

Genomgående i artikeln står $\rho ,\nu$ för sannolikhetsfördelningar på $\mathbb {R}$ , medan $A,B,X ,Y,Z$ står för särskilda slumpvariabler på $\mathbb {R}$ . Notationen $X\sim \rho$ betyder att $X$ har fördelningen $\rho$ .

Det finns en sekvens av stokastiska dominansordningar, från första $\succeq _{1}$ , till andra $\succeq _{2}$ , till högre order $\succeq _ {n}$ . Sekvensen blir allt mer inkluderande. Det vill säga om $\rho \succeq _{n}\nu$ , då $\rho \succeq _{k}\nu$ för alla $k\geq n$ . Vidare finns det $\rho ,\nu$ så att $\rho \succeq _{n+1}\nu$ men inte $\ rho \succeq _{n}\nu$ .

Stokastisk dominans kunde spåras tillbaka till (Blackwell, 1953), men den utvecklades inte förrän 1969–1970.

Statlig dominans

Det enklaste fallet av stokastisk dominans är statlig dominans (även känd som stat-för-stat dominans ), definierad enligt följande:

Slumpvariabel A är tillståndsmässigt dominant över slumpvariabel B om A ger ett minst lika bra resultat i varje tillstånd (alla möjliga uppsättningar av utfall), och ett strikt bättre resultat i minst ett tillstånd.

Till exempel, om en dollar läggs till ett eller flera priser i ett lotteri, dominerar det nya lotteriet statligt det gamla eftersom det ger en bättre utbetalning oavsett de specifika siffrorna som realiseras av lotteriet. På samma sätt, om en riskförsäkring har en lägre premie och bättre täckning än en annan försäkring, med eller utan skada, blir resultatet bättre. Den som föredrar mer framför mindre (i standardterminologin, alla som har monotont ökande preferenser) kommer alltid att föredra ett statligt dominerande spel.

Första beställning

Statlig dominans antyds av första ordningens stokastisk dominans (FSD) , som definieras som:

Slumpvariabel A har första ordningens stokastisk dominans över slumpvariabel B om A för något utfall x ger minst lika stor sannolikhet att få minst x som B, och för vissa x ger A högre sannolikhet att få minst x . I notationsform, $P[A\geq x]\geq P[B\geq x]$ för alla x , och för vissa x , $P[A\geq x]>P[B\geq x]$ .

När det gäller de kumulativa fördelningsfunktionerna för de två slumpvariablerna betyder A som dominerar B att $F_{A}(x)\leq F_{B}(x)$ för alla x , med strikt olikhet vid något x .

Motsvarande definitioner

Låt $\rho ,\nu$ vara två sannolikhetsfördelningar på ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ så att ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]} är båda ändliga, då är följande$ villkor är likvärdiga, så de kan alla tjäna som definitionen av första ordningens stokastisk dominans:

• För alla $u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ som inte är avtagande, $\mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]$

• $F_{\rho }(t)\leq F_{\nu}(t),\quad \forall t\in \mathbb {R} .$
• Det finns två slumpvariabler ${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu } ,$ så att $X=Y+\delta$ , där ${\ displaystyle \delta \geq 0}$ .

Den första definitionen säger att en chansning $\rho$ första ordningens stokastiskt dominerar gamble $\nu$ om och bara om varje förväntad nyttomaximerare med en ökande nyttofunktion föredrar gamble $\rho$ framför gamble $\nu$ .

Den tredje definitionen säger att vi kan konstruera ett par spel $X,Y$ med fördelningarna $\mu ,\nu$ , så att gamble $X$ alltid betalar minst lika mycket som spela $Y$ . Mer konkret, konstruera först en likformigt fördelad ${\displaystyle Z\sim Uniform(0,1)} ,$ använd sedan den inversa transformsamplingen för att få ${\displaystyle X=F_{X}^{-1}(Z),Y=F_{Y}^{-1}(Z)},$ sedan $X\geq Y$ för valfri $Z$ .

Bildmässigt är den andra och tredje definitionen ekvivalenta, eftersom vi kan gå från den grafiska densitetsfunktionen för A till den för B både genom att trycka den uppåt och trycka den åt vänster.

Utökat exempel

Tänk på tre spel över en enda kast av en rättvis sexsidig tärning:

${\displaystyle {\begin{array$

Gamble A dominerar tillståndsmässigt spel B eftersom A ger minst lika bra avkastning i alla möjliga tillstånd (utfall av tärningskastet) och ger en strikt bättre avkastning i ett av dem (tillstånd 3). Eftersom A tillståndsmässigt dominerar B, dominerar det också första ordningens B.

Gamble C dominerar inte tillståndsmässigt B eftersom B ger bättre avkastning i tillstånd 4 till 6, men C första ordningens stokastiskt dominerar B eftersom Pr(B ≥ 1) = Pr(C ≥ 1) = 1, Pr(B ≥ 2) = Pr(C ≥ 2) = 3/6, och Pr(B ≥ 3) = 0 medan Pr(C ≥ 3) = 3/6 > Pr(B ≥ 3).

Spel A och C kan inte ordnas i förhållande till varandra på grundval av första ordningens stokastisk dominans eftersom Pr(A ≥ 2) = 4/6 > Pr(C ≥ 2) = 3/6 medan Pr(C å andra sidan ≥ 3) = 3/6 > Pr(A ≥ 3) = 0.

I allmänhet, även om när en chansning av första ordningen stokastiskt dominerar ett andra spel, kommer det förväntade värdet av vinsten under den första att vara större än det förväntade värdet av vinsten under den andra, det omvända är inte sant: man kan inte beställa lotterier med hänsyn till stokastisk dominans helt enkelt genom att jämföra medel för deras sannolikhetsfördelningar. Till exempel, i exemplet ovan har C ett högre medelvärde (2) än A (5/3), men C dominerar inte A av första ordningen.

Andra beställning

Den andra vanliga typen av stokastisk dominans är andra ordningens stokastisk dominans . Grovt sett, för två spel $\rho$ och $\nu$ , har gamble $\rho$ andra ordningens stokastisk dominans över gamble $\nu$ om den förra är mer förutsägbar (dvs. innebär mindre risk) och har ett minst lika högt medelvärde. Alla riskaverta förväntade nyttomaximerare (det vill säga de med ökande och konkava nyttofunktioner) föredrar ett andra ordningens stokastiskt dominerande spel framför ett dominerat. Andra ordningens dominans beskriver de delade preferenserna för en mindre klass av beslutsfattare (de för vilka mer är bättre och som är riskvilliga, snarare än alla de för vilka mer är bättre) än första ordningens dominans.

När det gäller kumulativa fördelningsfunktioner $F_{\rho }$ och $\displaystyle F_{\nu }} är$$\nu$$\rho$ andra ordningens stokastiskt dominant över ν om och endast om $\int _{-\infty }^{x}[F_{\nu }(t)- F_{\rho }(t)]\,dt\geq 0$ för alla $x$ , med strikt olikhet vid några $x$ . På motsvarande sätt dominerar $\rho$$\nu$ i andra ordningen om och endast om ${\displaystyle \ mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u(X)]} för alla icke-minskande$ och konkava hjälpfunktioner $u(x)$ .

Andra ordningens stokastiska dominans kan också uttryckas på följande sätt: Gamble $\rho$ andra ordningens stokastiskt dominerar $\nu$ om och bara om det finns några spel $y$ och ${\ displaystyle z}$ så att ${\displaystyle x_{\nu }{\overset {d}{=}}(x_{\rho }+y+z)} ,$ med $y$ alltid mindre än eller lika med noll, och med $\mathbb {E} (z\mid x_{\rho }+y)=0$ för alla värden på $x_{\rho }+y$ . Här gör introduktionen av slumpvariabeln $y$$\nu$ första ordningens stokastiskt dominerad av $\rho$ (gör $\nu$ ogillas av de med en ökande nyttofunktion ), och introduktionen av slumpvariabel $z$ introducerar en medelbevarande spridning i $\nu$ som ogillas av de med konkav nytta. Observera att om $\rho$ och $\nu$ har samma medelvärde (så att den slumpmässiga variabeln $y$ degenereras till det fasta talet 0), då $\nu$ är en medelbevarande spridning av $\rho$ .

Motsvarande definitioner

Låt $\rho ,\nu$ vara två sannolikhetsfördelningar på ${\displaystyle \mathbb {R} } ,$ så att ${\displaystyle \mathbb {E} _{X\sim \rho }[|X|],\mathbb {E} _{X\sim \nu }[|X|]} är båda ändliga, då är följande$ villkor är likvärdiga, så de kan alla tjäna som definitionen av andra ordningens stokastisk dominans:

• För alla $u:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ som är icke-minskande och (inte nödvändigtvis strikt) konkav, $\mathbb {E} _{X\sim \rho }[u(X)]\geq \mathbb {E} _{X\sim \nu }[u( X)]$

• $\int _{-\infty }^{t}F_{\rho }(x)dx\leq \int _{-\infty }^{t}F_{\nu}(x)dx,\quad \forall t\in \mathbb {R} .$
• Det finns två slumpvariabler ${\displaystyle X\sim \rho ,Y\sim \nu } ,$ så att $X=Y+\delta +\epsilon$ , där $\delta \geq 0$ och $\mathbb {E} [\epsilon |Y+\delta ]=0$ .

Dessa är analoga med motsvarande definitioner av första ordningens stokastisk dominans, som ges ovan.

Tillräckliga förutsättningar

• Första ordningens stokastisk dominans av A över B är ett tillräckligt villkor för andra ordningens dominans av A över B.
• Om B är en medelbevarande spridning av A , så dominerar A andra ordningens stokastiskt B .

Nödvändiga förutsättningar

• ${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)} är ett nödvändigt villkor för$ att A ska andra ordningens stokastiskt dominerar B .
• $\min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)$ är ett nödvändigt villkor för att A ska dominera B av andra ordningen . Villkoret innebär att den vänstra svansen på $F_{\nu }$ måste vara tjockare än den vänstra svansen på $F_{\rho }$ .

Tredje ordningen

Låt $F_{\rho }$ och $F_{\nu }$ vara de kumulativa fördelningsfunktionerna för två distinkta investeringar $\rho$ och $\nu$ . $\rho$ dominerar $\nu$ i tredje ordningen om och endast om båda

• $\int _{-\infty }^{x}\left( \int _{-\infty }^{z}[F_{\nu}(t)-F_{\rho }(t)]\,dt\right)dz\geq 0{\text{ för alla }}x ,$
• $\mathbb {E} _{\rho }(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }(x)$ .

På motsvarande sätt dominerar $\rho$$\nu$ i tredje ordningen om och endast om $\mathbb {E} _{\rho }U(x)\geq \mathbb {E} _{\nu }U(x)$ för alla $U\in D_{3}$ .

Uppsättningen $D_{3}$ har två ekvivalenta definitioner:

• uppsättningen av icke-minskande, konkava nyttofunktioner som är positivt skeva (det vill säga har en icke-negativ tredjederivata genomgående).
• uppsättningen av icke-minskande, konkava hjälpfunktioner, så att för varje slumpmässig variabel $Z$ är risk-premium- funktionen $Z)}$ , en monotont icke-ökande funktion av $x$ .

Här definieras $\pi _{u}(x,Z)$ som lösningen på problemet

$$u(x+\mathbb {E} [Z]-\pi )=\mathbb {E} [u(x+Z)].$$

Se mer information på riskpremiesidan .

Tillräckligt skick

• Andra ordningens dominans är ett tillräckligt villkor.

Nödvändiga villkor

• $\mathbb {E} _{\rho }(\log(x))\geq \mathbb {E} _{\nu }(\log(x))$ är ett nödvändigt villkor. Villkoret innebär att det geometriska medelvärdet av $\rho$ måste vara större än eller lika med det geometriska medelvärdet av $\nu$ .
• $\min _{\rho }(x)\geq \min _{\nu }(x)$ är ett nödvändigt villkor. Villkoret innebär att den vänstra svansen på $F_{\nu }$ måste vara tjockare än den vänstra svansen på $F_{\rho }$ .

Högre ordning

Högre ordningar av stokastisk dominans har också analyserats, liksom generaliseringar av det dubbla förhållandet mellan stokastiska dominansordningar och klasser av preferensfunktioner. Det kanske mest kraftfulla dominanskriteriet bygger på det accepterade ekonomiska antagandet om minskad absolut riskaversion . Detta innebär flera analytiska utmaningar och en forskningssatsning är på väg att ta itu med dessa.

Formellt definieras den n-te ordningens stokastiska dominansen som

• För varje sannolikhetsfördelning $\rho$ på $[0,\infty )$ , definiera funktionerna induktivt:

$$F_{\rho }^{1}(t)=F_{ \rho }(t),\quad F_{\rho }^{2}(t)=\int _{0}^{t}F_{\rho }^{1}(x)dx,\quad \cdots$$

• För två valfria sannolikhetsfördelningar $\rho ,\nu$ på $[0,\infty )$ definieras icke-strikt och strikt stokastisk dominans av n:te ordningen som
  $$\rho \succeq _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad F_{\rho }^{n} \geq F_{\nu }^{n}{\text{ på }}[0,\infty )$$
  $$\rho \succ _{n}\nu \quad {\text{ iff }}\quad \rho \succeq _{n}\nu {\text { och }}\rho \neq \nu$$

Dessa relationer är transitiva och allt mer inkluderande. Det vill säga om $\rho \succeq _{n}\nu$ , då $\rho \succeq _{k}\nu$ för alla $k\geq n$ . Vidare finns det $\rho ,\nu$ så att $\rho \succeq _{n+1}\nu$ men inte $\ rho \succeq _{n}\nu$ .

Definiera det n:te momentet med ${\displaystyle \mu _{k}(\rho )=\mathbb {E} _{X\sim \rho [X^{k}]=\int x^{k}dF_{\rho }(x)} ,$ sedan

Teorem — Om $\rho \succ _{n}\nu$ är på $[0,\infty )$ med ändliga moment $\mu _{k}(\rho ),\mu _{k}(\nu )$ för alla $k=1,2,...,n$ , sedan $(\mu _{1}(\rho ),...,\mu _{n}(\rho ))\succ _{n}^{*}(\mu _{1}( \nu ),\mu _{n}(\nu ))$ .

definieras delordningen ${\displaystyle \succ _{n}^{*}} på$$\mathbb {R} ^{n}$ av $v \succ _{n}^{*}w$ iff $v\neq w$ , och låter $k$ vara den minsta så att $v_{k }\neq w_{k}$ , vi har $(-1)^{k-1}v_{k}>(- 1)^{k-1}w_{k}$

Begränsningar

Stokastiska dominansrelationer kan användas som begränsningar i problem med matematisk optimering , i synnerhet stokastisk programmering . I ett problem med att maximera en verklig funktionell $f(X)$ över slumpvariabler $X$ i en uppsättning $X_{0}$ kan vi dessutom kräva att $X$ dominerar stokastiskt ett fast slumpmässigt riktmärke $B$ . I dessa problem nyttofunktioner rollen som Lagrange-multiplikatorer förknippade med stokastiska dominansbegränsningar. Under lämpliga förhållanden är lösningen av problemet också en (eventuellt lokal) lösning av problemet för att maximera $f(X)+\mathbb { E} [u(X)-u(B)]$ över $X$ i $X_{0}$ , där $u(x)$ är en viss hjälpfunktion . Om den första ordningens stokastiska dominansbegränsningen används, är hjälpfunktionen $u(x)$ icke-minskande ; om den andra ordningens stokastiska dominansrestriktionen används är $u(x)$ icke-minskande och konkav . Ett system av linjära ekvationer kan testa om en given lösning är effektiv för någon sådan nyttofunktion. Tredje ordningens stokastiska dominansbegränsningar kan hanteras med hjälp av konvex quadratically constrained programmering (QCP).

Se även

• Modern portföljteori
• Marginal villkorad stokastisk dominans
• Responsiv set extension - motsvarande stokastisk dominans i samband med preferensrelationer.
• Kvantkatalysator
• Ordinal Pareto effektivitet
• Lexikografisk dominans