Exakt par

Inom matematiken är ett exakt par , på grund av William S. Massey ( 1952 ), en allmän källa till spektralsekvenser . Det är vanligt speciellt inom algebraisk topologi ; till exempel Serre-spektralsekvensen konstrueras genom att först konstruera ett exakt par.

För definitionen av ett exakt par och konstruktionen av en spektralsekvens från det (vilket är omedelbart), se Spektralsekvens § Spektralsekvens av ett exakt par . För ett grundläggande exempel, se Bockstein spektralsekvens . Denna artikel omfattar ytterligare material.

Exakt par av ett filtrerat komplex

Låt R vara en ring, som är fixerad genom hela diskussionen. Observera att om R är $\mathbb {Z}$ så är moduler över R samma sak som abelska grupper .

Varje filtrerat kedjekomplex av moduler bestämmer ett exakt par, som i sin tur bestämmer en spektralsekvens, enligt följande. Låt C vara ett kedjekomplex graderat med heltal och anta att det ges en ökande filtrering: för varje heltal p finns det en inkludering av komplex:

$F_{p-1}C\subset F_{p}C.$

Från filtreringen kan man bilda det tillhörande graderade komplexet :

$\operatorname {gr} C=\bigoplus _{-\infty }^{\infty }F_{p}C/F_{p -1}C,$

som är dubbelgraderad och som är den nollte sidan i spektralsekvensen:

$E_{p,q}^{0}=(\operatörsnamn {gr} C)_{p,q}=(F_{p}C/F_{p-1}C)_{p+q} .$

För att få den första sidan, för varje fast p , tittar vi på den korta exakta sekvensen av komplex:

$0\to F_{p-1}C\to F_{p}C\to (\operatörsnamn {gr} C)_{ p}\till 0$

från vilken vi får en lång exakt sekvens av homologier: ( p är fortfarande fixerad)

$\cdots \to H_{n}(F_{p-1}C){\overset {i}{\to }}H_{n}(F_{p}C){\overset {j}{\to }} H_{n}(\operatörsnamn {gr} (C)_{p}){\overset {k}{\to }}H_{n-1}(F_{p-1}C)\to \cdots$

Med beteckningen ${\displaystyle D_{p,q}=H_{p+ q}(F_{p}C),\,E_{p,q}^{1}=H_{p+q}(\operatörsnamn {gr} (C)_{p})} , ovanstående lyder$ :

$\cdots \to D_{p-1,q+1 }{\overset {i}{\to }}D_{p,q}{\overset {j}{\to }}E_{p,q}^{1}{\overset {k}{\to }} D_{p-1,q}\to \cdots ,$

som är exakt ett exakt par och $E^{1}$ är ett komplex med differentialen $d=j\circ k$ . Det härledda paret av detta exakta par ger den andra sidan och vi itererar. I slutändan får man komplexen $E_{*,*}^{r}$ med differentialen d :

$E_{p,q}^{r}{\overset {k}{\to }}D_{p-1,q}^{r}{\overset {{}^{r}j}{\ till }}E_{pr,q+r-1}^{r}.$

Nästa lemma ger en mer explicit formel för spektralsekvensen; i synnerhet visar den att spektralsekvensen som konstruerats ovan är densamma i mer traditionell direkt konstruktion, där man använder formeln nedan som definition (jfr. Spektralsekvens#The spectral sequence of a filtered complex ) .

Lemma — Låt $A_{p}^{r}=\{c\in F_{p}C\mid d (c)\in F_{pr}C\}$ , som ärver $\mathbb {Z}$ -gradering från $F_{p}C$ . Sedan för varje sid

$E_{p,*}^{r}\simeq {A_{p}^{r} \over d(A_{p+r-1}^{r-1})+A_{p-1} ^{r-1}}.$

Bevisskiss: Kom ihåg $d=j\circ k$ , det är lätt att se:

$Z^{r}=k^{-1}(\operatörsnamn {im} i^{r} ),\,B^{r}=j(\operatörsnamn {ker} i^{r}),$

där de ses som subkomplex av $E^{1}$ .

Vi kommer att skriva stapeln för $F_{p}C\to F_{p}C/F_{p-1}C$ . Nu, om $[{\overline {x}}]\in Z_{p,q}^{r-1}\subset E_ {p,q}^{1}$ , sedan $k([{\overline {x}}])=i^{r- 1}([y])$ för vissa $[y]\in D_{pr,q+ r-1}=H_{p+q-1}(F_{p}C)$ . Å andra sidan är att komma ihåg k en sammanbindande homomorfism, $k([{\overline {x}}])=[d(x)]$ där x är en representant som bor i $(F_{p}C)_{p+q}$ . Således kan vi skriva: $d(x)-i^{r-1}(y)=d(x')$ för några $x'\in F_{p-1}C$ . Därför, $[{\overline {x}}]\in Z_{p}^{r}\Leftrightarrow x\in A_{p}^{r }$ modulo $F_{p-1}C$ , vilket ger $Z_{p}^ {r}\simeq (A_{p}^{r}+F_{p-1}C)/F_{p-1}C$ .

Därefter noterar vi att en klass i ${\displaystyle \operatorname {ker} (i ^{r-1}:H_{p+q}(F_{p}C)\till H_{p+q}(F_{p+r-1}C))} representeras av en cykel$ x så att $x\in d(F_{p+r-1}C)$ . Därför, eftersom j induceras av ${\overline {\cdot }}$ , $B_{p}^{r-1}=j(\operatörsnamn {ker} i^{r-1})\simeq (d(A_{ p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C)/F_{p-1}C$ .

Vi drar slutsatsen: eftersom $A_{p}^{r}\cap F_{p-1}C=A_{p-1}^{ r-1}$ ,

$E_{p,*}^{r}={Z_{p}^{r-1} \over B_{p}^{r-1}}\simeq {A_{p}^{r} +F_{p-1}C \över d(A_{p+r-1}^{r-1})+F_{p-1}C}\simeq {A_{p}^{r} \över d (A_{p+r-1}^{r-1})+A_{p-1}^{r-1}}.\qquad \square$

Sats — Om $C=\cup _{p}F_{p}C$ och för varje n finns ett heltal $s(n)$ så att $F_{s(n)}C_{n}=0$ , då konvergerar spektralsekvensen E ^r till $H_{*}(C)$ det vill säga $E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_ {p+q}(C)/F_{p-1}H_{p+q}(C)$ .

Bevis: Se sista avsnittet i maj. $\square$

Exakt par av ett dubbelkomplex

Ett dubbelkomplex bestämmer två exakta par; varifrån de två spektralsekvenserna, enligt följande. (Vissa författare kallar de två spektralsekvenserna horisontella och vertikala.) Låt $K^{p,q}$ vara ett dubbelkomplex. Med notationen ${\displaystyle G^{p}=\bigoplus _{i\geq p}K^{i,*}} ,$ för var och en med fast p , har vi exakt sekvens av kokedjekomplex:

$0\to G^{p+1}\to G^{p}\to K^{p,*}\to 0.$

Att ta kohomologi av det ger upphov till ett exakt par:

$\cdots \to D^{p,q}{\overset {j}{\to }}E_{1}^{p,q }{\overset {k}{\to }}\cdots$

Genom symmetri, det vill säga genom att byta första och andra index, får man också det andra exakta paret.

Exempel: Serre spektralsekvens

Serre -spektralsekvensen uppstår från en fibration :

$F\to E\to B.$

För transparensens skull överväger vi bara fallet när utrymmena är CW-komplex , F är anslutet och B är helt enkelt anslutet ; det allmänna fallet involverar mer tekniska egenskaper (nämligen lokalt koefficientsystem ).

Anteckningar

• May, J. Peter , A primer on spectral sequences (PDF)
•   Massey, William S. (1952), "Exact couples in algebraic topology. I, II", Annals of Mathematics , Second Series, 56 : 363–396, doi : 10.2307/1969805 , MR 0052770 .
•    Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge: Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139644136 , ISBN 0-521-43500-5 , MR 1269324