Bockstein spektralsekvens

Inom matematik är Bockstein-spektralsekvensen en spektralsekvens som relaterar homologin med modp - koefficienter och den homologireducerade modp . Den är uppkallad efter Meyer Bockstein .

Definition

Låt C vara ett kedjekomplex av torsionsfria abelska grupper och p ett primtal . Då har vi den exakta sekvensen:

$0\longrightarrow C{\overset {p}{\longrightarrow }}C{\overset {{\text{mod}}p}{\ longrightarrow }}C\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0.$

Med integral homologi H får vi det exakta paret av "dubbelgraderade" abelska grupper:

$H_{*}(C){\overset {i=p}{\longrightarrow }}H_{*}(C){\overset {j}{\longrightarrow }}H_{*}(C\otimes \ mathbb {Z} /p){\overset {k}{\longrightarrow }}.$

där betyget går: $H_{*}(C)_{s,t}=H_{s+t}(C)$ och samma för $H_{*}(C\otimes \mathbb {Z} /p),\deg i=(1,-1),\deg j=(0,0),\deg k=(-1,0 ).$

Detta ger den första sidan av spektralsekvensen: vi tar $E_{s,t}^{1}=H_{s+t}( C\otimes \mathbb {Z} /p)$ med differentialen ${}^{1}d=j\circ k$ . Det härledda paret av ovanstående exakta par ger sedan den andra sidan och så vidare. Explicit har vi $D^{r}=p^{r-1}H_{*}(C)$ som passar in i det exakta paret:

$D^{r}{\overset {i=p}{\longrightarrow }}D^{r}{\overset {{}^{r }j}{\longrightarrow }}E^{r}{\overset {k}{\longrightarrow }}$

där ${}^{r}j=({\text{mod }}p)\circ p^{-{r+1}}$ och ${\displaystyle \deg({}^{r}j)=(-(r-1),r-1)} ($ graderna av i , k är samma som tidigare). Ta nu $D_{n}^{r}\otimes -$ av

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {p}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0 ,$

vi får:

$0\longrightarrow \operatörsnamn {Tor} _{1}^{\ mathbb {Z} }(D_{n}^{r},\mathbb {Z} /p)\longrightarrow D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{ r}\longrightarrow D_{n}^{r}\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow 0$ .

Detta talar om för kärnan och kokkärnan för $D_{n}^{r}{\overset {p}{\longrightarrow }}D_{n}^{r}$ . Om vi ​​expanderar det exakta paret till en lång exakt sekvens får vi: för varje r ,

$0\longrightarrow (p ^{r-1}H_{n}(C))\otimes \mathbb {Z} /p\longrightarrow E_{n,0}^{r}\longrightarrow \operatörsnamn {Tor} (p^{r-1} H_{n-1}(C),\mathbb {Z} /p)\longrightarrow 0$ .

När $r=1$ är detta samma sak som den universella koefficientsatsen för homologi.

Antag att den abelska gruppen $H_{*}(C)$ är ändligt genererad; i synnerhet kan endast ändligt många cykliska moduler av formen $\mathbb {Z} /p^{s}$ visas som en direkt summa av $H_{*}( C)$ . Om vi ​​låter $r\to \infty$ ser vi alltså $E^{\infty }$ är isomorft till $({ \text{fri del av }}H_{*}(C))\otimes \mathbb {Z} /p$ .

•    McCleary, John (2001), A User's Guide to Spectral Sequences , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 58 (andra upplagan), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-56759-6 , MR 1793722
• JP May, En primer på spektralsekvenser