Mirimanoffs kongruens

I talteorin , en gren av matematiken , är en Mirimanoffs kongruens en av en samling uttryck i modulär aritmetik som, om de håller, innebär sanningen om Fermats sista sats . Eftersom satsen nu har bevisats är dessa nu av huvudsakligen historisk betydelse, även om Mirimanoff-polynomen är intressanta i sig. Satsen beror på Dmitry Mirimanoff .

Definition

Det n :te Mirimanoff-polynomet för primtal p är

\phi _{n}(t)=1^{n-1}t+2^{n-1}t^{2}+...+(p-1)^{n-1} t^{p-1}.

När det gäller dessa polynom, om t är ett av de sex värdena {- X / Y , - Y / X , - X / Z , - Z / X , - Y / Z , - Z / Y } där X ^p + Y } ^p + Z ^p =0 är alltså en lösning på Fermats sista sats

φ _{p -1} ( t ) ≡ 0 (mod p )
φ _{p -2} ( t ) φ ₂ ( t ) ≡ 0 (mod p )
φ _{p -3} ( t ) φ ₃ ( t ) ≡ 0 (mod p )

...

φ _{( p +1)/2} ( t ) φ _{( p -1)/2} ( t ) ≡ 0 (mod p )

Andra kongruenser

Mirimanoff bevisade också följande:

^p^p Om ett udda primtal p inte delar en av täljarna för Bernoulli-talen B _{p -3} , B _{p -5} , B _{p -7} eller B _{p -9} , då det första fallet av Fermats sista sats, där p inte delar X , Y eller Z i ekvationen Xp + Yp + Zp = ^p=0, holds.
Om det första fallet av Fermats sista sats misslyckas för primtal p , då 3 ^{p -1} ≡ 1 (mod p ² ). Ett primtal med denna egenskap kallas ibland ett Mirimanoff-primtal , i analogi med ett Wieferich-primtal som är ett primtal så att 2 ^{p -1} ≡ 1 (mod p ² ). Förekomsten av primtal som tillfredsställer sådana kongruenser erkändes långt innan deras implikationer för det första fallet av Fermats sista sats blev uppenbara; men även om upptäckten av den första Wieferich-primtalan kom efter dessa teoretiska utvecklingar och föranleddes av dem, är den första förekomsten av en Mirimanoff-primtal så liten att den var känd redan innan Mirimanoff formulerade kopplingen till FLT 1910, vilket faktum kan förklara vissa författares ovilja att använda namnet. Så tidigt som i sin uppsats från 1895 (s. 298) anspelar Mirimanoff på ett ganska komplicerat test för de primtal som nu är kända under hans namn, som härrör från en formel publicerad av Sylvester 1861 , som är av litet beräkningsvärde men stort teoretiskt intresse. Detta test förenklades avsevärt av Lerch (1905), sid. 476, som visade att i allmänhet, för p > 3,

$3^{p-1 }\equiv \left(-{\frac {2}{3}}\cdot \left\{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +\left\lfloor p/3\right\rfloor ^{-1}\right\}\right)p+1{\pmod {p^{2}}}$

så att ett primtal har Mirimanoff-egenskapen om det delar uttrycket inom de lockiga hängslen. Villkoret förfinades ytterligare i en viktig artikel av Emma Lehmer (1938), där hon övervägde den spännande och fortfarande obesvarade frågan om det är möjligt för ett antal att samtidigt uppfylla kongruenserna hos Wieferich och Mirimanoff. Hittills är de enda kända Mirimanoff-primtalen 11 och 1006003 (sekvens A014127 i OEIS ). Upptäckten av den andra av dessa verkar bero på KE Kloss (1965).

KE Kloss, "Some Number-Theoretic Calculations," Journal of Research av National Bureau of Standards—B. Mathematics and Mathematical Physics 69 (1965), s. 335–336.
Emma Lehmer, "On Congruences involving Bernoulli Numbers and the Quotients of Fermat and Wilson," Annals of Mathematics 39 (1938), s. 350–360.
M. Lerch, "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten...," Mathematische Annalen 60 (1905), s. 471–490 [1] .
D. Mirimanoff, "Sur la Congruence ( r ^{p −1} − 1): p ≡ q _r ," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895), s. 295–300 [2] . Några korrigeringar ges i 1937 års tidning nedan.
D. Mirimanoff, "Sur le dernier théorème de Fermat et le Critérium de MA Wieferich," L'Enseignement Mathématique 11 (1909), s. 455–459 [3] .
D. Mirimanoff, "Sur le dernier théorème de Fermat," Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences 150 (1910), s. 204–206; en reviderad och utökad version av denna uppsats publicerades under samma titel i Journal für die reine und angewandte Mathematik 139 (1911), s. 309–324 [4] .
D. Mirimanoff, "Sur les nombres de Bernoulli," L'Enseignement Mathématique 36 (1937), s. 228–235 [5] .
Paulo Ribenboim , 13 föreläsningar om Fermats sista sats, Springer, 1979
Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory , Springer, 2006