Eddy diffusion

Virveldiffusionssimulering av svart vätskepaket i vit vätska.

Virveldiffusion , virvelspridning eller turbulent diffusion är en process genom vilken ämnen blandas i atmosfären, havet eller i något vätskesystem på grund av virvelrörelser. Det är med andra ord blandning som orsakas av virvlar som kan variera i storlek från subtropiska havsgyres ner till de små Kolmogorov-mikroskalorna . Konceptet turbulens eller turbulent flöde gör att virveldiffusion uppstår. Teorin om virveldiffusion utvecklades först av Sir Geoffrey Ingram Taylor .

I laminära flöden blandas materialegenskaper (salt, värme, fuktighet, aerosoler etc.) genom slumpmässig rörelse av enskilda molekyler (se molekylär diffusion ). Med ett rent probabilistiskt argument är nettoflödet av molekyler från område med hög koncentration till område med låg koncentration högre än flödet i motsatt riktning. Detta ned-gradientflöde balanserar koncentrationsprofilen över tiden. Detta fenomen kallas molekylär diffusion , och dess matematiska aspekt fångas av diffusionsekvationen .

Vid turbulenta flöden , utöver blandning genom molekylär diffusion, rör virveler om ( Eddy diffusion § Anmärkning om omrörning och blandning ) vätskan. Detta gör att vätskepaket från olika initiala positioner, och därmed olika tillhörande koncentrationer, tränger in i vätskeområden med olika initiala koncentrationer. Detta gör att vätskeegenskaperna homogeniseras i en skala större än den hos virvlar som ansvarar för omrörning, på ett mycket effektivt sätt jämfört med individuella molekylära rörelser. I de flesta makroskopiska flöden i naturen är virveldiffusion flera storleksordningar starkare än molekylär diffusion. Detta leder ibland till att det senare försummas när man studerar turbulenta flöden.

Problemet med turbulent diffusion i atmosfären och utanför är att det inte finns någon enskild modell hämtad från fundamental fysik som förklarar alla dess betydelsefulla aspekter. Det finns två alternativa tillvägagångssätt med icke-överlappande nyttoområden. Enligt gradienttransportteorin är diffusionsflödet vid en fast punkt i vätskan proportionell mot den lokala koncentrationsgradienten. Denna teori är Eulerian till sin natur, dvs den beskriver vätskeegenskaper i ett rumsligt fixerat koordinatsystem (se Lagrangian och Eulerian specification of a fluid ) . Däremot följer statistiska diffusionsteorier rörelsen hos vätskepartiklar, och är således lagrangiska. Dessutom kan beräkningsmetoder klassificeras som teorier om kontinuerlig rörelse eller diskontinuerlig rörelse, beroende på om de antar att partiklar rör sig kontinuerligt eller i diskreta steg.

Historisk utveckling

Teorin om virveldiffusion utvecklades ursprungligen, runt slutet av 1910-talet, av GI Taylor och LF Richardson i England och av W. Schmidt i Österrike som en direkt generalisering av den klassiska teorin om molekylär diffusion . De föreslog idén att virvlarnas massaeffekt är helt lik den hos molekyler förutom en skalskillnad. Detta beskrivs som "gradientmodellen" i ett senare avsnitt, namnet härlett från det faktum att diffusionsflöden är proportionella mot den lokala gradienten i koncentration, precis som för molekylär diffusion.

Senare forskning (1930-talet), främst av OG Sutton , påpekade några problem med det ursprungliga tillvägagångssättet och lade fram idén att skillnaden mellan virvelstrukturen hos en turbulent vätska och molekylstrukturen hos en vätska i vila är mer än en skala .

Under de följande decennierna genomfördes ett antal studier för att experimentellt undersöka den etablerade teorin om virveldiffusion, både för atmosfären och havets/sjökropparna, mestadels för att finna överensstämmelse med den ursprungliga teorin. I synnerhet har experiment på diffusion av främmande material i en turbulent vattenström, vertikal struktur av vatten i sjökroppar och den lägsta delen av atmosfären hittat experimentella bevis för att virveldiffusion verkligen är starkare än molekylär diffusion och i allmänhet följer den teori som ursprungligen utvecklades av GI Taylor . Några motexempel till den ursprungliga gradientteorin ges längre fram i artikeln.

Aktiv forskning är nu inriktad på virveldiffusionens bidrag till både atmosfäriska och oceaniska kända processer. Nya modeller och teorier byggdes på grunden av den ursprungliga teorin för att fullständigt beskriva dessa processer. I synnerhet inkluderar dessa studier virveldiffusionsmekanismer för att förklara processer från aerosolavsättning till inre gravitationsvågor i den övre atmosfären, från djuphavsvirveldiffusion och flytkraft till näringstillförsel till ytan av det blandade lagret i Antarktis Circumpolar Ström .

Matematisk formulering av virveldiffusion

utvecklas ett matematiskt ramverk baserat på kontinuitetsekvation för att beskriva utvecklingen av koncentrationsprofilen över tid, under inverkan av virveldiffusion. Hastighet och koncentrationsfält sönderdelas i medelvärde och fluktuerande (virvel)komponenter. Det härleds sedan att koncentrationsflödet på grund av virvlar ges av kovarians av fluktuationer i hastighet och koncentration. Denna kovarians är i princip okänd, vilket innebär att evolutionsekvationen för koncentrationsprofil inte kan lösas utan att göra ytterligare antaganden om kovariansen. Nästa avsnitt ger sedan ett sådant antagande (gradientmodellen) och länkar därmed till huvudresultatet av detta avsnitt. Den efter det beskriver en helt annan statistisk (och lagrangisk) inställning till problem.

Betrakta ett skalärt fält ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)} ,$ x $\textstyle {\vec {x}}}$ är en position i en fast kartesisk koordinat system . Fältet mäter koncentrationen av en passiv bevarad spårarart (kan vara ett färgat färgämne i ett experiment, salt i havet eller vattenånga i luften). Adjektivet "passiv" betyder att spårämnet, åtminstone inom en viss approximation, inte ändrar dynamiska egenskaper såsom densitet eller tryck på något sätt. Den rör sig bara med flödet utan att ändra den. Detta är strikt sett inte sant för många "spårämnen" i naturen, som vattenånga eller salt. "Bevarad" betyder att det inte finns några absoluta källor eller sänkor, spårämnet flyttas bara runt genom diffusion och advektion .

Betrakta konserveringsekvationen för ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t)}$ . Detta är den generaliserade vätskekontinuitetsekvationen med en källterm på höger sida. Källan motsvarar molekylär diffusion (och inte någon nettoskapande/destruktion av spårämnet). Ekvationen är skriven i Eulerisk syn (den innehåller partiell tidsderivata):

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {u}}\phi )=K_{0}\nabla ^{2}\phi$$

${\textstyle K_{0}}$ är koefficienten för molekylär diffusivitet ( massdiffusivitet ) .

Syftet är att ta reda på hur det laminära medelflödet interagerar med turbulenta virvlar, i synnerhet vilken effekt detta har på transporten av spårämnet. I linje med standard Reynolds-nedbrytning kan koncentrationsfältet delas in i dess medelvärde och fluktuerande komponenter:

$$\phi ({\vec {x}},t)=\langle \phi ({\ vec {x}},t)\rangle +\phi '({\vec {x}},t)$$

Likaså för hastighetsfältet:

$${\vec {u}}({\vec {x}},t) =\langle {\vec {u}}({\vec {x}},t)\rangle +{\vec {u}}'({\vec {x}},t)$$

Medeltermen (inom vinkelparenteser) representerar en laminär komponent av flödet. Observera att medelfältet i allmänhet är en funktion av rum och tid, och inte bara en konstant. Medelvärde i denna mening tyder inte på ett medelvärde över alla tillgängliga data i rum och tid, utan bara att filtrera bort den turbulenta rörelsen. Detta innebär att medelvärdesdomänen är begränsad till en omfattning som fortfarande jämnar ut turbulensen, men inte raderar information om själva medelflödet. Detta förutsätter att skalorna för virvlar och medelflöde kan separeras, vilket inte alltid är fallet. Man kan komma så nära detta som möjligt genom att på lämpligt sätt välja medelvärdesintervallet, eller helst göra ett ensemblemedelvärde om experimentet kan upprepas. Kort sagt är medelvärdesberäkningen inte trivial i praktiken. I det här avsnittet behandlas ämnet teoretiskt, och det antas att ett sådant lämpligt medelvärdesförfarande finns. Den fluktuerande (primade) termen har den definierande egenskapen att den ger ett medelvärde, dvs ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$ . Det används för att beskriva turbulensen (virvlingarna) som bland annat rör om vätskan.

Man kan nu fortsätta med Reynolds nedbrytning. Genom att använda det faktum att ${\textstyle \langle \phi '\rangle =0}$ per definition, kan man medelvärde hela ekvationen för att eliminera alla turbulenta fluktuationer ${\textstyle \phi '}$ , förutom i icke -linjära termer (se Reynolds nedbrytning , Reynolds stress och Reynolds medelvärde för Navier–Stokes ekvationer) . Den icke-linjära advektiv termen blir:

$${\begin{aligned}\langle {\vec {u}}\phi \rangle &=\langle \left(\langle {\vec {u}}\rangle +{\vec {u}}'\right)\left(\langle \phi \rangle +\phi '\right)\rangle \\&=\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \end{aligned}}$$

Vid substitution i bevarandeekvationen:

$$⟩ \partial t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \ +\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right) =K_{0}\nabla ^{2}\langle \phi \rangle }$$

Om man trycker den tredje (turbulenta) termen på vänster sida till höger sida (in i ${\textstyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla }$ ), blir resultatet:

$$\phi$$

Denna ekvation ser ut som ekvationen vi började med, förutom att (i) ${\textstyle {\vec {u}}}$ och ${\textstyle \phi }$ blev deras laminära komponenter, och (ii) utseendet på en ny andra terminen på höger sida. Denna andra term har en analog funktion till Reynolds stressterm i Reynolds-genomsnittet av Navier–Stokes ekvationer .

Detta var den Euleriska behandlingen. Man kan också studera detta problem i en lagrangisk synvinkel (absorbera några termer i materialderivatan ) :

$${\frac {D\phi }{Dt}}+\phi \nabla \cdot {\vec {u}}=K_{0}\ nabla ^{2}\phi$$

Definiera en medelmaterialderivata genom:

$${\frac {\overline {D}}{{\overline {D}}t}}={\frac {\partial }{\ partiell t}}+\langle {\vec {u}}\rangle \cdot \nabla$$

Detta är den materialderivata som är associerad med medelflödet (advektiv term innehåller endast den laminära delen av ${\textstyle {\vec {u}}} )$ . Man kan distribuera divergenstermen på höger sida och använda denna definition av materialderivata:

$$_ \langle \phi \rangle }{{\overline {D}}t}}+\langle \phi \rangle \nabla \cdot \langle {\vec {u}}\rangle =\nabla \cdot \left(K_{ 0}\nabla \langle \phi \rangle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle \right)}$$

Denna ekvation ser återigen ut som den lagrangiska ekvationen som vi började med, med samma förbehåll (i) och (ii) som i fallet Euler, och definitionen av medelflödeskvantiteten även för derivatoperatorn. Analysen som följer kommer att återgå till Eulerian bild.

Tolkningen av eddy diffusivitet är som följer. ${\textstyle K_{0}\nabla \langle \phi \rangle }$ är flödet av det passiva spårämnet på grund av molekylär diffusion. Det är alltid nedåtgående. Dess divergens motsvarar ackumuleringen (om negativ) eller utarmning (om positiv) av spårämneskoncentrationen på grund av denna effekt. Man kan tolka termen ${\textstyle -\langle {\vec {u}}'\phi '\rangle }$ som ett flöde på grund av turbulenta virvlar som rör om vätskan. Likaså skulle dess divergens ge ackumulering/utarmning av spårämne på grund av turbulenta virvlar. Det är ännu inte specificerat om detta virvelflöde ska vara nedgradient, se senare avsnitt.

Man kan också undersöka koncentrationsbudgeten för ett litet flytande paket med volym ${\textstyle V}$ . Utgå från Eulers formulering och använd divergenssatsen :

$${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}\langle \phi \rangle {\text{d}}V=\oint K_{0}\nabla \langle \phi \ rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A-\oint \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d }}A-\oint \langle \phi \rangle \langle {\vec {u}}\rangle \cdot {\vec {n}}{\text{d}}A$$

De tre termerna på höger sida representerar molekylär diffusion, virveldiffusion respektive advektion med medelflödet. Ett problem uppstår att det inte finns någon separat ekvation för ${\textstyle \langle \phi '{\vec {u}}'\rangle }$ . Det är inte möjligt att stänga ekvationssystemet utan att komma med en modell för denna term. Det enklaste sättet hur det kan uppnås är att anta att den, precis som termen molekyldiffusion, också är proportionell mot gradienten i koncentration ⟨ $\textstyle \langle \phi \rangle } ($ se avsnittet om gradientbaserade teorier ). Se turbulensmodellering för mer.

Gradientdiffusionsteori

Exempel på Euleriskt referenssystem av partiklar i en låda.

Den enklaste modellen för turbulent diffusion kan konstrueras genom att dra en analogi med den probabilistiska effekten som orsakar ned-gradientflödet som ett resultat av rörelse hos enskilda molekyler (molekylär diffusion). Betrakta ett inert, passivt spårämne dispergerat i vätskan med en initial rumslig koncentration ${\textstyle \phi ({\vec {x}},t=0)}$ . Låt det finnas ett litet flytande område med högre koncentration av spårämnet än dess omgivning i alla riktningar. Den byter ut vätska (och med den spårämnet) med sin omgivning via turbulenta virvlar, som är fluktuerande strömmar som går fram och tillbaka på ett till synes slumpmässigt sätt. Virvlarna som strömmar till regionen från dess omgivningar är statistiskt sett desamma som de som strömmar från regionen till dess omgivningar. Detta beror på att spårämnet är "passivt", så ett vätskepaket med högre koncentration har liknande dynamiskt beteende som ett vätskepaket med lägre koncentration. Den viktigaste skillnaden är att de som strömmar utåt bär mycket mer spårämne än de som strömmar inåt, eftersom koncentrationen inuti regionen initialt är högre än utanför. Detta kan kvantifieras med ett spårflux. Flux har enheter av spårämnesmängd per area per gång, vilket är samma som spårämneskoncentration gånger hastighet. Lokal spårningsackumuleringshastighet ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ skulle då bero på skillnaden mellan utgående och inkommande flöden. I vårt exempel är utgående flöden större än ingående flöden, vilket ger en negativ lokal ackumulering (dvs. utarmning) av spårämnet. Denna effekt skulle i allmänhet resultera i en jämvikt av den initiala profilen ${\textstyle \phi ({\vec {x}})}$ över tiden, oavsett vad den initiala profilen kan vara. För att kunna beräkna denna tidsevolution behöver man veta hur man beräknar flödet. Detta avsnitt utforskar den enklaste hypotesen: flöde är linjärt relaterat till koncentrationsskillnaden (precis som för molekylär diffusion). Detta kommer också som den mest intuitiva gissningen från analysen som just gjorts. Flux är i princip en vektor. Denna vektor pekar i spårtransportens riktning, och i detta fall skulle den vara parallell med ${\textstyle -\nabla \phi ({\vec {x}})}$ . Därför kallas modellen typiskt för gradientdiffusion (eller motsvarande nedgradientdiffusion).

Ett grovt argument för gradientdiffusion

Konceptuellt diagram för en enkel härledning av virveldiffusion. En virvel blandar innehållet i två flytande regioner genom att injicera strömmar och filament fram och tillbaka på ett kvasi-slumpmässigt sätt. Den verkliga processen är mycket mer kaotisk än en enkel spiral antyder. ${\textstyle \Phi _{1}}$ och ${\textstyle \Phi _{2}}$ står för koncentrationerna av samma godtyckliga ämne som blandas av virveln. Längdskalan för de två regionerna som påverkas av virveln i den här bilden bestäms av virvelns längdskala och inte vice versa.

Underavsnittet syftar till ett enkelt, grovt och heuristiskt argument som förklarar hur matematiken för gradientdiffusion uppstår. En mer rigorös och generell behandling av gradientmodellen erbjuds i nästa underavsnitt, som bygger direkt på avsnittet om allmän matematisk behandling (som ännu inte antog gradientmodell i det tidiga skedet och lämnade kovariansen av fluktuationer som den var). Medel indikeras för närvarande inte explicit för maximal enkel notation. Försumma även för närvarande den molekylära diffusiviteten ${\textstyle K_{0}}$ , eftersom den vanligtvis är betydligt mindre än virveldiffusionsförmågan och skulle leda uppmärksamheten bort från virvelmekanismen.

Betrakta två närliggande vätskepaket med deras mittpunkter ${\textstyle \Delta x}$ isär. De innehåller volymkoncentrationer ${\textstyle \phi _{1}}$ och ${\textstyle \phi _{2}}$ av ett inert, passivt spårämne. Utan förlust av generalitet, låt ${\textstyle \phi _{2}>\phi _{1}}$ . Föreställ dig att en enda virvel av längdskala ${\textstyle \Delta x}$ och hastighetsskala ${\textstyle U}$ är ansvariga för en kontinuerlig omrörning av material mellan de två paketen. Spårflödet som utbyts genom de två paketens laterala gräns är märkt ${\textstyle J}$ . Gränsen är vinkelrät mot ${\textstyle x}$ -axeln. Fluxet från paket 1 till paket 2 är då, åtminstone i storleksordning:

$${\begin{aligned}J&=\phi _{1}U-\phi _{2} U\\&=-U\Delta \phi \\&=-(U\Delta x){\frac {\Delta \phi }{\Delta x}}\end{aligned}}$$

Detta argument kan ses som en fysiskt motiverad dimensionsanalys , eftersom den enbart använder längd- och hastighetsskalorna för en virvel för att uppskatta spårflödet som den genererar. Om hela den studerade domänen (tros innehålla ett stort antal sådana par ${\textstyle \phi _{1}}$ och ${\textstyle \phi _{2}}$ ) är mycket större än virvellängdsskalan ${\textstyle \Delta x}$ , man kan approximera ${\textstyle \Delta \phi }$ över ${\textstyle \Delta x}$ som derivatan av koncentrationen i ett kontinuerligt varierande medium:

$$J=-(U\Delta x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}$$

Baserat på likhet med Ficks diffusionslag kan man tolka termen inom parentes som en diffusionskoefficient ${\textstyle K}$ associerad med denna turbulenta virvel, given av en produkt av dess längd- och hastighetsskalor.

$$J=-K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}$$

använda en endimensionell form av kontinuitetsekvation ${\textstyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {\partial J}{\partial x }}=0}$ , vi kan skriva:

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left( K{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\right)$$

Om ${\textstyle K}$ antas vara rumsligt homogen, kan den dras ut ur derivatan och man får en diffusionsekvation av formen:

$${\frac {\partial \phi }{\partial t}}=K{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^ {2}}}$$

Detta är ett prototypiskt exempel på parabolisk partiell differentialekvation . Det är också känt som värmeekvationen . Dess grundläggande lösning för en punktkälla vid ${\textstyle x=0}$ är:

$$\phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Kt}}} \exp {\left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)}$$

Genom jämförelse med Gaussisk distribution kan man identifiera variansen som ${\textstyle \sigma ^{2}(t)=2Kt}$ och standardavvikelsen som $\sim t^{1/2}} ,$ ett mycket typiskt tidsberoende för molekylär diffusion eller vandring .

För att avsluta detta underavsnitt beskrev den hur en virvel kan röra om två omgivande regioner av en vätska och hur detta beteende ger upphov till matematik som beskrivs som "gradientmodell", vilket betyder att diffusiva flöden är i linje med en negativ rumslig gradient i koncentration. Det ansågs vara en mycket enkel geometri, där alla variationer sker längs en axel. Argumentet använde endast storleksordningsskalor för rumslig separation och virvelhastighet, därför var det väldigt grovt. Nästa avsnitt erbjuder en mer rigorös behandling.

Tolkning från allmänna ekvationer

Detta underavsnitt bygger på avsnittet om allmän matematisk behandling och observerar vad som händer när ett gradientantagande infogas.

Kom ihåg Reynolds genomsnittliga koncentrationsekvation:

$$\phi$$

Vi gör ett liknande gradientantagande som det som motiverades i underavsnittet ovan med spårlängds- och hastighetsskalor. Koefficientvärdet behöver dock inte vara detsamma som i ovanstående underavsnitt (som endast specificerades i storleksordning). Gradienthypotesen lyder:

$$\langle \phi '{\vec {u}}'\rangle =-K({\vec {x}}, t)\nabla \langle \phi \rangle$$

Detta gör att koncentrationsekvationen kan skrivas om som

$$\lang {\partial \lang partiell t}}+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=\nabla \cdot \left((K_{0}+K)\nabla \langle \phi \rangle \right)$$

Detta liknar återigen den initiala koncentrationsekvationen, med transofmationer ${\textstyle \phi \rightarrow \langle \phi \rangle ,{\vec {u}}\rightarrow \langle {\vec {u}}\rangle }$ och ${\textstil K_{0}\högerpil K_{0}+K}$ . Det representerar en generalisering till Ficks andra lag (se Ficks diffusionslagar ), i närvaro av turbulent diffusion och advektion av medelflödet. Det är anledningen till att nedgradient virveldiffusionsmodeller ofta kallas "Fickian", vilket betonar denna matematiska likhet. Observera att virveldiffusionsförmågan ${\textstyle K}$ i allmänhet kan vara en funktion av rum och tid, eftersom dess värde ges av mönstret av virvlar som kan utvecklas i tiden och variera från plats till plats. Olika antaganden om ${\textstyle K({\vec {x}},t)}$ kan leda till olika modeller, med olika avvägningar mellan observationer och teori.

Ibland är termen Fickian diffusion reserverad enbart för fallet när ${\textstyle K}$ är en sann konstant. ${\textstyle K}$ måste vara åtminstone rumsligt enhetlig för att det ska vara möjligt att skriva:

$${\frac {\partial \langle} \phi }+\nabla \cdot \left(\langle {\vec {u}}\rangle \langle \phi \rangle \right)=(K_{0}+K)\nabla ^{2}\langle \phi \rangle$$

I det här fallet kan summan av molekylär och virveldiffusivitet betraktas som en ny effektiv viskositet, som fungerar på ett kvalitativt liknande sätt som molekylär diffusivitet, men avsevärt ökat i storlek.

I sammanhanget för denna artikel kan adjektivet "Fickian" också användas som en motsvarighet till en gradientmodell, så en mer allmän form som $\textstyle K({\vec {x}}, t)}$ är tillåtet. Terminologin i vetenskapliga artiklar är inte alltid konsekvent i detta avseende.

Brister och motexempel på gradientmodellen

Gradientmodeller var historiskt sett de första modellerna av eddy diffusion. De är enkla och matematiskt bekväma, men det underliggande antagandet om rent diffusivt flöde med nedgradient är inte universellt giltigt. Här är några experimentella motexempel:

1. För ett enkelt fall av homogent turbulent skjuvflöde är vinkeln mellan ${\textstyle -\nabla \langle \phi \rangle }$ och ${\textstyle \langle \phi '{\vec { u}}'\rangle }$ visade sig vara 65 grader. Fickisk diffusion förutsäger 0 grader.
2. På havet har ytdriftare som initialt ligger längre ifrån varandra större sannolikhet att öka sitt fysiska avstånd med stora mängder än de som initialt ligger närmare. Däremot förutspår Fickian diffusion att förändringen i ömsesidigt avstånd (dvs initialt avstånd subtraherat från det slutliga avståndet) för de två driftarna är oberoende av deras initiala eller slutliga avstånd själva. Detta observerades av Stommel 1949.
3. Nära en punktkälla (t.ex. en chimmey) observeras tidsutvecklingen av höljet av ett diffust moln av vattenånga typiskt vara linjär i tiden. Fickisk diffusion skulle förutsäga ett kvadratrotsberoende i tiden.

Dessa observationer indikerar att det finns mekanismer som skiljer sig från ren diffusion med nedgradient, och att den kvalitativa analogin mellan molekylär och virveldiffusion inte är perfekt. I det kommande avsnittet om statistiska modeller presenteras ett annorlunda sätt att se på virveldiffusion.

Statistisk diffusionsteori

Exempel på Lagrangian-referenssystem. Observatören följer partikeln i dess väg.

Den statistiska teorin om vätsketurbulens omfattar en stor mängd litteratur och dess resultat tillämpas inom många forskningsområden, från meteorologi till oceanografi.

Statistisk diffusionsteori har sitt ursprung i GI Taylors (1921) artikel med titeln "Diffusion genom kontinuerliga rörelser" och utvecklades senare i hans artikel "Statistical theory of turbulence". Det statistiska tillvägagångssättet för diffusion skiljer sig från gradientbaserade teorier eftersom man istället för att studera den rumsliga transporten vid en fast punkt i rymden använder sig av det lagrangska referenssystemet och följer partiklarna i deras rörelse genom vätskan och försöker fastställa utifrån dessa. de statistiska egenskaperna för att representera spridning.

Taylor i synnerhet hävdade att vid högt Reynolds-tal kan den rumsliga transporten på grund av molekylär diffusion försummas jämfört med den konvektiva transporten av medelflödet och turbulenta rörelser. Om man försummar den molekylära diffusionen, ${\textstyle \phi }$ efter en vätskepartikel och följaktligen kan utvecklingen av medelfältet ⟨ $\textstyle \left\langle \phi \right\rangle }$ bestämmas från statistiken av vätskepartiklars rörelse.

Lagrangisk formulering

Betrakta ett obegränsat turbulent flöde där en källa vid tidpunkten ${\textstyle t_{0}}$ bestämmer det skalära fältet till något värde:

$$\phi ({\vec {x}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {x}})$$

${\textstyle {\vec {X}}(t,{\vec {Y}})}$ är positionen vid tidpunkten ${\textstyle t_{0}}$ för vätskepartikeln som kommer från position ${\textstyle {\vec {Y}}}$ vid tidpunkten t.

Om molekylär diffusion försummas, bevaras ${\textstyle \phi }$ efter en vätskepartikel. Då är värdet på ${\textstyle \phi }$ vid de initiala och sista punkterna av vätskepartikelbanan detsamma:

$$\phi ({\vec {X}}(t,{\vec {Y}} ),t)=\phi ({\vec {Y}},t_{0})=\phi _{0}({\vec {Y}})$$

Att beräkna förväntan på den sista ekvationen ger

$$\left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =\left\langle \phi _{0}({\vec {Y}}(t,{\vec {x}})\right\ rangle =\int f_{X}({\vec {x}};t|{\vec {Y}})\phi _{0}({\vec {Y}})d{\vec {Y}}$$

där ${\textstil f_{X}}$ är den framåtriktade sannolikhetstäthetsfunktionen för partikelposition.

Spridning från en punktkälla

För fallet med en enhetspunktkälla fixerad på plats ${\textstyle {\vec {Y_{0}}}}$ , dvs. ${\textstyle \phi _ {0}({\vec {x}})=\delta ({\vec {x}}-{\vec {Y_{0}}})} , förväntningsvärdet för$ ϕ $\ textstil \phi ({\vec {x}},t)}$ är

$$\left\langle \phi ({\vec {x}},t)\right\rangle =f_{X}( {\vec {x}};t|Y_{0})$$

Detta betyder att det medelbevarade skalära fältet som resulterar från en punktkälla ges av sannolikhetstäthetsfunktionen för partikelpositionen ${\textstyle f_{X}}$ för vätskepartiklarna som har sitt ursprung vid källan.

Det enklaste fallet att överväga är spridning från en punktkälla, placerad vid origo ( ${\textstyle Y_{0}=0}$ ), i statistiskt stationär isotrop turbulens. Tänk särskilt på ett experiment där det isotropiska turbulenta hastighetsfältet har noll medelvärde.

I den här inställningen kan man härleda följande resultat:

• 

  Prover av vätskepartikelbanor som ges av Langevin-ekvationen för tider som är mycket kortare än lagrangisk tidsskala. Observera att förväntningarna utvecklas linjärt. (Båda axlarna uttrycks i lämpliga dimensionslösa kvantiteter).
  

  Prover av vätskepartikelbanor som ges av Langevin-ekvationen för tider som är mycket längre än lagrangisk tidsskala. Observera att förväntningen utvecklas som en kvadratrot av tid. (Båda axlarna uttrycks i lämpliga dimensionslösa kvantiteter).
  Med tanke på att det isotropiska turbulenta hastighetsfältet har noll medelvärde, sprids vätskepartiklar från ursprunget isotropiskt, vilket betyder att medelvärde och kovarians för vätskepaketets position är resp.
  $$\left\langle {\vec {X}}(t,0)\right\rangle =\int _{ 0}^{t}\left\langle {\vec {U}}(s,0)\right\rangle ds=0$$
  $$\left\langle X_{i}(t,0)X_{j}(t,0)\ höger\rangle =\sigma _{X}^{2}(t)\delta _{ij}$$
  där ${\textstyle \sigma _{x}(t)}$ är standardavvikelsen och ${\textstyle \delta _{ij}$ } Kroneckerdeltat .
• Standardavvikelsen för partikelförskjutningen ges i termer av den lagrangiska hastighetsautokorrelationen ρ $\textstyle \rho (s)}$ följt av
  $$\sigma _{X}^{2}(t)=2u'^{2}\int _ {0}^{t}(ts)\rho (s)ds$$
  där ${\textstyle u'}$ är rotens medelkvadrathastighet . Detta resultat motsvarar det resultat som ursprungligen erhölls av Taylor.
• För alla tider kan spridningen uttryckas i termer av en diffusivitet ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)}$ som

$${\hat {\Gamma }}_{T}(t)={\frac { 1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sigma _{X}^{2}=u'^{2}\int _{0}^{t}\rho (s)ds$$

• Kvantiteten $T_{L}=\int _{0}^{\infty }\rho (s)ds$ definierar en tidsskalekarakteristik för turbulensen som kallas Lagrangisk integral tidsskala.
• För tillräckligt små tider ( ${\textstyle t\ll T_{L}}$ ), så att ${\textstyle \rho (s)}$ kan approximeras med ${\textstyle \ rho (0)=1}$ , rätlinjig vätskerörelse leder till en linjär ökning av standardavvikelsen ${\textstyle \sigma _{X}\approx u't}$ som i termer motsvarar en tidsberoende diffusivitet ${\textstyle {\hat {\Gamma }}_{T}(t)\approx u'^{2}t}$ . Detta kastar ljus över ett av de ovan angivna experimentella motexemplen på gradientdiffusion, nämligen observationen av linjär spridningshastighet för rök nära skorstenen.
• För tillräckligt långa tider ( ${\textstyle t\gg T_{L}}$ ), motsvarar dispersionen diffusion med konstant diffusivitet ${\textstyle \Gamma _{T}=u '^{2}T_{L}}$ så att standardavvikelsen ökar med kvadratroten av tiden som följer
  $$\sigma _{X}(t)\approx {\sqrt {2u'^{2}T_{L}t}}$$
• Detta är samma typ av beroende som härleddes för ett enkelt fall av gradientdiffusion. Denna överensstämmelse mellan de två tillvägagångssätten tyder på att gradientmodellen fungerar bra under tillräckligt långa tider och att den istället misslyckas med att förutsäga beteendet hos partiklar som nyligen skjutits ut från sin källa.

Langevins ekvation

Den enklaste stokastiska Lagrangian-modellen är Langevin-ekvationen , som ger en modell för hastigheten efter vätskepartikeln. I synnerhet ger Langevin-ekvationen för vätske-partikelhastigheten en fullständig förutsägelse för turbulent dispersion. Enligt ekvationen är den lagrangiska hastighetens autokorrelationsfunktion den exponentiella $\rho (s)=\exp(-|s|/T_{L} )$ . Med detta uttryck för $\rho (s)$ kan standardavvikelsen för partikelförskjutningen integreras för att ge

$$\sigma _{X}^{2}(t)=2u^ {2}T_{L}[t-T_{L}(1-\exp(-t/T_{L}))]$$

Enligt Langevin-ekvationen är varje komponent i den flytande partikelhastigheten en Ornstein-Uhlenbeck-process . Det följer att vätskepartikelpositionen (dvs. integralen av Ornstein-Uhlenbeck-processen) också är en Gauss-process. Således är det genomsnittliga skalära fältet som förutsägs av Langevin-ekvationen den Gaussiska fördelningen

$$\left\langle \phi ({\vec {x}}, t)\right\rangle =(\sigma _{X}{\sqrt {2\pi }})^{-3}\exp(-x_{i}x_{i}/2\sigma _{X}^ {2})$$

med $\sigma _{X}(t)$ ges av föregående ekvation.

Virvelspridning i naturvetenskap

Virvelspridning i havet

Molekylär diffusion är försumbar för materialtransporter över havsområdena. Observationer tyder dock på att haven är under konstant blandning. Detta möjliggörs av havsvirvlar som sträcker sig från Kolmogorov-mikroskalor till gyres som spänner över hela bassänger. Virvelaktivitet som möjliggör denna blandning avleder kontinuerligt energi, som den förlorade till minsta rörelseskalor. Detta balanseras främst av tidvatten och vindstress, som fungerar som energikällor som kontinuerligt kompenserar för den förbrukade energin.

Vertikal transport: vältande cirkulation och virveluppsvällning

Bortsett från lagren i omedelbar närhet av ytan är större delen av havet stabilt skiktat. I några få smala, sporadiska områden på höga breddgrader blir ytvattnet tillräckligt instabilt för att sjunka djupt och utgöra den djupa, sydliga grenen av den vältande cirkulationen (se t.ex. AMOC ). Virveldiffusion, främst i den antarktiska cirkumpolära strömmen , möjliggör sedan återflöde uppåt av dessa vattenmassor. Upwelling har också en kustnära komponent på grund av Ekman-transporten , men Antarctic Circumpolar Current anses vara den dominerande källan till upwelling, ansvarig för ungefär 80% av dess totala intensitet. Därför är effektiviteten av turbulent blandning i subantarktiska regioner nyckelelementet som bestämmer hastigheten för den vältande cirkulationen och därmed transporten av värme och salt över det globala havet.

Virveldiffusion styr också uppströmningen av atmosfäriskt kol som lösts upp i övre havet tusentals år tidigare, och spelar därmed en viktig roll i jordens klimatsystem. I samband med den globala uppvärmningen orsakad av ökad atmosfärisk koldioxid , orsakar uppströmning av dessa uråldriga (därav mindre kolrika) vattenmassor samtidigt som den nuvarande kolrika luften löses upp och sänks nedåt, en nettoackumulering av koldioxidutsläpp i havet. Detta i sin tur dämpar klimatförändringarna, men orsakar problem som havsförsurning .

Horisontell transport: plast

Ett exempel på horisontella transporter som har fått stort forskningsintresse under 2000-talet är transport av flytande plast . Över stora avstånd är den mest effektiva transportmekanismen den vinddrivna cirkulationen . Konvergent Ekman-transport i subtropiska gyres förvandlar dessa till regioner med ökad flytande plastkoncentration (t.ex. Great Pacific garbage patch) .

Förutom de storskaliga ( deterministiska ) cirkulationerna, suddar många processer i mindre skala ut den övergripande bilden av plasttransporter. Sub-grid turbulent diffusion ger en stokastisk natur till rörelsen. Numeriska studier görs ofta som involverar stora ensemble av flytande partiklar för att övervinna denna inneboende stokasticitet .

Dessutom finns det också mer makroskopiska virvlar som löses upp i simuleringar och som är bättre förstådda. Till exempel mesoskala virvlar en viktig roll. Mesoscale virvlar är långsamt roterande virvlar med diametrar på hundratals kilometer, kännetecknade av Rossby-tal som är mycket mindre än enhet. Anticyklonvirvlar (moturs på norra halvklotet) har en radiell flödeskomponent på insidan av ytan, som orsakar nettoansamling av flytande partiklar i deras centrum. Mesoskaliga virvlar kan inte bara hålla skräp, utan också transportera det över stora avstånd på grund av deras avdrift västerut. Detta har visats för ytdrivare, radioaktiva isotopmarkörer, plankton, maneter, värme och salt. Submesoskala virvlar och havsfronter är också viktiga, men de är vanligtvis olösta i numeriska modeller och bidrar till den ovan nämnda stokastiska komponenten i transporten.

Atmosfär

Problemet med diffusion i atmosfären reduceras ofta till att lösa den ursprungliga gradientbaserade diffusionsekvationen under lämpliga randvillkor. Denna teori kallas ofta för K-teorin, där namnet kommer från diffusivitetskoefficienten K som introduceras i den gradientbaserade teorin.

Om K anses vara konstant, till exempel, kan det tänkas som att mäta flödet av en passiv skalär kvantitet ${\textstyle \phi }$ , såsom rök genom atmosfären.

För ett stationärt medium ${\textstyle \phi }$ , där diffusionskoefficienterna, som inte nödvändigtvis är lika, kan variera med de tre rumsliga koordinaterna, säger den mer generella gradientbaserade diffusionsekvationen,

$${partial z$$

Med tanke på en punktkälla är randvillkoren

$${\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad { \text{as}}\quad t\högerpil \infty \quad {\text{för}}\quad -\infty <x<\infty \\(2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text {as}}\quad t\rightarrow 0\quad {\text{for}}\quad x\neq 0\end{aligned}}$$

där ${\textstyle \phi \rightarrow \infty }$ så att ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\phi dx=\Phi } ,$ där ${\textstyle \Phi }$ är källstyrkan (total mängd $\phi$ frigiven).

Lösningen på detta problem är en Gaussisk funktion. I synnerhet lösningen för en momentan punktkälla för ${\textstyle \phi }$ , med styrkan ${\textstyle \Phi }$ , av en atmosfär där ${\textstyle {\overline {u}}}$ är konstant, ${\textstyle v=w=0}$ och för vilket vi betraktar ett lagrangiskt referenssystem som rör sig med medelvinden ${\textstyle {\overline {u}}}$ :

$${\frac {\phi }{\Phi }}={\frac {1}{(4\pi Kt)^{1/2}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4Kt}}\right)$$

Integrering av denna momentana punktkälla-lösning med avseende på rymden ger ekvationer för momentana volymkällor (exempelvis bombsprängningar). Integration av den momentana punktkällans ekvation med avseende på tid ger de kontinuerliga punktkällorna lösningarna.

Atmosfäriskt gränsskikt

K-teori har tillämpats när man studerar dynamiken hos en skalär storhet $\phi$ genom det atmosfäriska gränsskiktet . Antagandet om konstant virveldiffusion kan sällan tillämpas här och av denna anledning är det inte möjligt att helt enkelt tillämpa K-teorin som tidigare introducerats.

Utan att förlora generalitet, överväg ett stabilt tillstånd, dvs. ${\textstyle \partial \phi /\partial t=0} ,$ och en oändlig sidvindslinjekälla, för vilken vid ${\textstyle z=0 }$

$${\frac {\partial }{\partial y}}\left(K_{y}{\frac {\partial \phi}{\partial y}} \right)=0$$

Om vi ​​antar att ${\textstil \partial (K_{x}\partial \phi /\partial x)/\partial x\ll {\ overline {u}}\partial \phi /\partial x}$ , dvs. x-transporten med medelflöde uppväger kraftigt virvelflödet i den riktningen, den gradientbaserade diffusionsekvationen för flödet av ett stationärt medium q {\ $q }$ blir

$${\overline {u}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\right)$$

Denna ekvation, tillsammans med följande randvillkor

$${\begin{aligned}(1)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad z\rightarrow \infty \\( 2)\quad &\phi \rightarrow 0\quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0\quad {\text{för alla}}\quad z>0\quad {\text{but}}\ quad \phi \rightarrow \infty \quad {\text{as}}\quad x\rightarrow 0,\quad z\rightarrow 0\quad {\text{sådan att}}\quad \lim _{x\rightarrow 0} \int _{0}^{\infty }{\overline {u}}\phi dz=\Phi \\(3)\quad &K_{z}{\frac {\partial \phi }{\partial z}} \quad {\text{as}}\quad z\rightarrow 0\quad {\text{för alla}}\quad x>0\end{aligned}}$$

där i synnerhet det sista villkoret innebär noll flöde vid marken. Denna ekvation har legat till grund för många undersökningar. Olika antaganden om formen av ${\textstyle K_{z}}$ ger olika lösningar.

Exempel på en överböjd plym som beskrivs med K-teorin i "Diffusion of stack gases in very stabil atmosphere" av Morton L. Barad.

Som ett exempel används K-teorin flitigt vid atmosfärisk turbulent diffusion (värmeledning från jordytan, momentumfördelning) eftersom den grundläggande differentialekvationen som är involverad kan avsevärt förenklas genom att eliminera en eller flera av rymdkoordinaterna. Med det sagt, i planetarisk gränsskikts värmeledning, är källan en sinusformad tidsfunktion och därför är den matematiska komplexiteten hos vissa av dessa lösningar avsevärd.

Brister och fördelar

I allmänhet kommer K-teorin med vissa brister. Calder studerade diffusionsekvationens tillämpbarhet på atmosfärsfallet och drog slutsatsen att standardformen K-teori inte kan vara allmängiltig. Monin hänvisar till K-teorin som en semi-empirisk diffusionsteori och påpekar att K-teorins grundläggande natur måste hållas i åtanke när kedjan av deduktioner från den ursprungliga ekvationen blir längre och mer involverad.

Med det sagt ger K-teorin många användbara, praktiska resultat. En av dem är studien av Barad där han en K-teori om det komplicerade problemet med diffusion av en överböjd stapelplym i mycket stabila atmosfärer.

Notera om omrörning och blandning

Verbet "röra" har en betydelse som skiljer sig från "blandning". Den förra står för ett mer storskaligt fenomen, såsom virveldiffusion, medan det senare ibland används för mer mikroskopiska processer, såsom molekylär diffusion. De används ofta omväxlande, inklusive viss vetenskaplig litteratur. "Mixing" används ofta för resultatet av båda, särskilt i mindre formell berättande. Det kan ses i animationen i det inledande avsnittet att virvelinducerad omrörning bryter ner det svarta området till mindre och mer kaotiska rumsmönster, men ingenstans syns någon gråton. Två vätskor blir mer och mer sammanflätade, men de blandas inte på grund av virveldiffusion. I verkligheten, när deras gränssnitt blir större, blir molekylär diffusion mer och mer effektiv och avslutar homogeniseringen genom att faktiskt blanda molekylerna över gränserna. Detta är en verkligt mikroskopiskt irreversibel process. Men även utan att molekylär diffusion tar hand om det sista steget, kan man rimligen hävda att rumskoncentrationen förändras på grund av virveldiffusion. I praktiken definieras koncentration med hjälp av en mycket liten men ändlig kontrollvolym där partiklar av den relevanta arten räknas. Medelvärdesberäkning över så liten kontrollvolym ger ett användbart mått på koncentrationen. Denna procedur fångar väl verkan av alla virvlar som är mindre än storleken på kontrollvolymen. Detta gör det möjligt att formulera ekvationer som beskriver virveldiffusion och dess effekt på koncentrationen utan att explicit överväga molekylär diffusion.