Reynolds-medelvärde för Navier–Stokes ekvationer

Reynolds -medelvärdet för Navier–Stokes-ekvationerna ( RANS -ekvationer) är tidsgenomsnittliga rörelseekvationer för vätskeflöde . Idén bakom ekvationerna är Reynolds nedbrytning , varvid en momentan kvantitet bryts ner till dess tidsgenomsnittliga och fluktuerande kvantiteter, en idé som först föreslogs av Osborne Reynolds . RANS-ekvationerna används främst för att beskriva turbulenta flöden . Dessa ekvationer kan användas med approximationer baserade på kunskap om egenskaperna hos flödesturbulens för att ge ungefärliga tidsgenomsnittliga lösningar på Navier–Stokes ekvationer . För ett stationärt flöde av en inkompressibel newtonsk vätska kan dessa ekvationer skrivas i Einstein-notation i kartesiska koordinater som:

$$\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar { f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i} }}\right)-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].$$

Den vänstra sidan av denna ekvation representerar förändringen i medelmomentum för ett vätskeelement på grund av ostadigheten i medelflödet och konvektionen av medelflödet. Denna förändring balanseras av medelkroppskraften, den isotropiska spänningen på grund av medeltryckfältet, de viskösa spänningarna och skenbar spänning ( $\displaystyle \left(-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right)}$ på grund av det fluktuerande hastighetsfältet, vanligtvis kallat Reynoldsspänningen . Denna olinjära Reynolds stressterm kräver ytterligare modellering för att stänga RANS-ekvationen för att lösa, och har lett till skapandet av många olika turbulensmodeller . Tidsgenomsnittsoperatören ${\overline {.}}$ är en Reynolds-operator .

Härledning av RANS-ekvationer

Det grundläggande verktyget som krävs för att härleda RANS-ekvationerna från de momentana Navier–Stokes-ekvationerna är Reynolds-nedbrytningen . Reynolds sönderdelning avser separation av flödesvariabeln (som hastighet $u$ ) i medelkomponenten (tidsgenomsnittlig) ( ${\overline {u}}$ ) och den fluktuerande komponenten ( $u^{\prime }$ ). Eftersom medeloperatorn är en Reynolds-operator har den en uppsättning egenskaper. En av dessa egenskaper är att medelvärdet av den fluktuerande storheten är lika med noll ( $\displaystyle ({\bar {u'}}=0)}$ . Således,

$$u({\boldsymbol {x}},t)={\bar {u}}({\boldsymbol {x }})+u'({\boldsymbol {x}},t),$$

där ${\boldsymbol {x}}=(x,y,z)$ är positionsvektorn. Vissa författare föredrar att använda $U$ istället för ${\bar {u}}$ för den genomsnittliga termen (eftersom en överstreck ibland används för att representera en vektor). I det här fallet representeras den fluktuerande termen ${\displaystyle u^{\prime }} istället av$$u$ . Detta är möjligt eftersom de två termerna inte förekommer samtidigt i samma ekvation. För att undvika förvirring kommer notationen $u$ , ${\bar {u}}$ och $u'$ att användas för att representera de momentana, medelvärdena och fluktuerande termerna, respektive.

Egenskaperna hos Reynolds-operatorer är användbara vid härledning av RANS-ekvationerna. Med hjälp av dessa egenskaper är Navier–Stokes rörelseekvationer, uttryckta i tensornotation, (för en inkompressibel newtonsk vätska):

$${\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0$$

$${\frac {\partial u_{i} }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=f_{i}-{\frac {1}{\rho }}{ \frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}$$

där $f_{i}$ är en vektor som representerar yttre krafter.

Därefter kan varje momentan kvantitet delas upp i tidsgenomsnittliga och fluktuerande komponenter, och den resulterande ekvationen tidsgenomsnittad, för att ge:

$${\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0$$

$${\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u }}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_ {j}}}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{ i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.$$

Momentumekvationen kan också skrivas som,

$${\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+{\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u }}_{i}}{\partial x_{j}}}={\bar {f}}_{i}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar { p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j }}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}.$$

Vid ytterligare manipulationer ger detta,

$$\rho {\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial t}}+\rho {\bar {u}}_{j}{\frac { \partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar {f}}_{i}+{\frac {\partial }{\partial x_{ j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S}}_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\ prime }u_{j}^{\prime }}}\right]$$

där ${\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2} }\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}} {\partial x_{i}}}\right)$ är medelhastigheten för töjningstensor.

Slutligen, eftersom integrering i tid tar bort tidsberoendet för de resulterande termerna, måste tidsderivatan elimineras och lämnar:

$$\rho {\bar {u}}_{j}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}=\rho {\bar { f_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left[-{\bar {p}}\delta _{ij}+2\mu {\bar {S} }_{ij}-\rho {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}\right].$$

Ekvationer av Reynolds stress

Tidsutvecklingsekvationen för Reynolds stress ges av:

$$\$$

Denna ekvation är mycket komplicerad. Om ${\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}$ spåras erhålls turbulens kinetisk energi . Den sista termen $\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k }}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}$ är turbulent spridningshastighet. Alla RANS-modeller är baserade på ovanstående ekvation.

Applikationer (RANS-modellering)

En modell för att testa prestanda fastställdes att, när den kombinerades med virvelgittret (VLM) eller gränselementmetoden (BEM), befanns RANS vara användbar för att modellera vattenflödet mellan två propellrar med motsatt rotation, där VLM eller BEM appliceras på propellrar och RANS används för det dynamiskt fluxande tillståndet mellan propellerna.

Se även

• Favre i genomsnitt