Dehns lemma
Inom matematik hävdar Dehns lemma att en bitvis linjär karta av en skiva till en 3-gren , med kartans singularitet inställd i skivans inre , innebär att det finns en annan bitvis linjär karta av skivan som är en inbäddning och är identisk till originalet på skivans gräns .
Detta teorem ansågs vara bevisat av Max Dehn ( 1910 ), men Hellmuth Kneser ( 1929 , sidan 260) fann en lucka i beviset. Statusen för Dehns lemma förblev i tvivel tills Christos Papakyriakopoulos ( 1957 , 1957b ) med hjälp av arbete av Johansson (1938) bevisade det med sin "tornkonstruktion". Han generaliserade också satsen till loopsatsen och sfärsatsen .
Tornkonstruktion
Papakyriakopoulos bevisade Dehns lemma genom att använda ett torn av täckande utrymmen . Strax efteråt Arnold Shapiro och JHC Whitehead ( 1958 ) ett betydligt enklare bevis, vilket bevisade ett kraftfullare resultat. Deras bevis använde Papakyriakopoulos tornkonstruktion, men med dubbla lock, enligt följande:
- Steg 1: Ta upprepade gånger ett anslutet dubbelt hölje av en vanlig stadsdel av bilden av skivan för att skapa ett torn av utrymmen, var och en en ansluten dubbelkåpa av den under den. Kartan från skivan kan lyftas till alla stadier av detta torn. Varje dubbelkåpa förenklar singulariteterna för inbäddningen av skivan, så det är bara möjligt att ta ett ändligt antal sådana dubbla höljen, och den översta nivån av detta torn har inga anslutna dubbla höljen.
- Steg 2. Om 3-grenröret inte har några anslutna dubbla kåpor är alla dess gränskomponenter 2-sfärer. I synnerhet den översta nivån av tornet har denna egenskap, och i det här fallet är det lätt att modifiera kartan från skivan så att den är en inbäddning.
- Steg 3. Inbäddningen av skivan kan nu tryckas ner i tornet av dubbla lock ett steg i taget, genom att klippa och klistra in 2-skivan.
- Bing, RH (1983), The Geometric Topology of 3-manifolds , American Mathematical Society , sid. 183, ISBN 0-8218-1040-5
- Dehn, Max (1910), "Über die Topologie des dreidimensionalen Raumes" , Mathematische Annalen , 69 : 137–168, doi : 10.1007/BF01455155 , S2CID 121316558
- Jaco, William; Rubinstein, Hyam (1989), "PL Equivariant Surgery and Invariant Decompositions of 3-Manifolds", Advances in Mathematics , 73 (2): 149–191, doi : 10.1016/0001-8708(89)90067-4
- Johansson, Ingebrigt (1935), "Über singuläre Elementarflächen und das Dehnsche Lemma", Mathematische Annalen , 110 : 312–330, doi : 10.1007/BF01448029 , S2CID 123540473
- Johansson, Ingebrigt (1938), "Teil 2, Thematische Annalen", Mathematische Annalen , 115 : 658–669, doi : 10.1007/BF01448964 , S2CID 121541094
- Kneser, Hellmuth (1929), "Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten" , Jber . Deutsch. Matematik. Verein. 38 : 248-260
- Papakyriakopoulos, CD (1957), "On Dehns Lemma and the Asphericity of Knots", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 43 (1): 169–172, Bibcode : 1957PNAS...43..169P , doi : 10.1073/pnas.43.1.169 , MR 0082671 , PMC 528404 , 8 PMID 96
- Papakyriakopoulos, CD (1957b), "On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots", Annals of Mathematics , 66 (1): 1–26, doi : 10.2307/1970113 , JSTOR 1970113 , 0 MR 5 08,09 PMC 5 04 09 PMC 1 , 5 04 09 PMC 9993
- Rubinstein, JH (2003), Dehn's lemma and the loop theorem , Lågdimensionell topologi, nya studier i avancerad matematik, Vol 3 International Press, s. 61–68
- Stallings, JR (1971), Gruppteori och tredimensionella grenrör , Yale University Press , ISBN 0-300-01397-3
- Shapiro, Arnold ; Whitehead, JHC (1958), "A proof and extension of Dehn's lemma", Bulletin of the American Mathematical Society , AMS, 64 (4): 174–178, doi : 10.1090/S0002-9904-1958-10198-6