Slingsats

I matematik, i topologin av 3-grenrör , är loopsatsen en generalisering av Dehns lemma . Slingsatsen bevisades först av Christos Papakyriakopoulos 1956, tillsammans med Dehns lemma och sfärsatsen .

En enkel och användbar version av loopsatsen säger att om det för något 3-dimensionellt grenrör M med gräns ∂M finns en karta

$f\colon (D^{2},\partial D^{2})\to (M,\partial M)$

med $f|\partial D^{2}$ inte nullhomotopic i $\partial M$ , då finns det en inbäddning med samma egenskap.

Följande version av slingsatsen, på grund av John Stallings , ges i de tre vanliga avhandlingarna (som Hempel eller Jaco):

Låt $M$ vara ett 3-grenrör och låt $S$ vara en sammankopplad yta i $\partial M$ . Låt $N\subset \pi _{1}(S)$ vara en normal undergrupp så att $\mathop {\mathrm {ker} } (\pi _{1}(S)\to \pi _{1}(M))-N\neq \emptyset$ . Låta

$f\colon D^{2}\to M$

vara en sammanhängande karta sådan att

$f(\partial D^{2})\subset S$

och

$[f|\partial D^{2}]\notin N.$

Sedan finns det en inbäddning

$g\colon D^{2}\to M$

Så att

$g(\partial D^{2})\subset S$

och

$[g|\partial D^{2}]\notin N.$

Om man dessutom börjar med en karta f i den allmänna positionen, så kan vi, för varje grannskap U i singularitetsmängden f , hitta ett sådant g med bild som ligger inom föreningen av bilden av f och U.

Stallings bevis använder en anpassning, på grund av Whitehead och Shapiro, av Papakyriakopoulos "tornkonstruktion". "Tornet" hänvisar till en speciell sekvens av beläggningar utformade för att förenkla lyft av den givna kartan. Samma tornkonstruktion användes av Papakyriakopoulos för att bevisa sfärsatsen (3-förgreningar), som säger att en icke-trivial karta över en sfär till en 3-manifold innebär att det finns en icke-trivial inbäddning av en sfär. Det finns även en version av Dehns lemma för minimala skivor på grund av Meeks och S.-T. Yau, som också är avgörande för tornets konstruktion.

Ett bevis som inte använder tornets konstruktion finns av den första versionen av loopsatsen. Detta gjordes i huvudsak för 30 år sedan av Friedhelm Waldhausen som en del av hans lösning på ordproblemet för Hakens grenrör ; även om han insåg att detta gav ett bevis på loopsatsen, skrev han inte upp ett detaljerat bevis. Den väsentliga ingrediensen i detta bevis är begreppet Haken-hierarki . Bevis skrevs senare upp av Klaus Johannson, Marc Lackenby och Iain Aitchison med Hyam Rubinstein .

• W. Jaco, Lectures on 3-manifolds topology , AMS regional konferensserie i Math 43.
• J. Hempel, 3-manifolds , Princeton University Press 1976.
• Hatcher, Notes on basic 3-manifold topology , tillgänglig online