Grupp av rationella punkter på enhetscirkeln

Pythagoras trippel (4,3,5) är associerad med den rationella punkten (4/5,3/5) på enhetscirkeln.

I matematik är de rationella punkterna på enhetscirkeln de punkter ( x , y ) så att både x och y är rationella tal ("bråktal") och uppfyller x ² + y ² = 1. Mängden av sådana punkter visar sig vara vara nära besläktad med primitiva pythagoras trippel . Betrakta en primitiv rätvinklig triangel , det vill säga med heltals sidlängder a , b , c , med c hypotenusan, så att sidorna inte har någon gemensam faktor som är större än 1. Sedan på enhetscirkeln finns den rationella punkten ( a / c , b / c ), som i det komplexa planet bara är a / c + ib / c , där i är den imaginära enheten . Omvänt, om ( x , y ) är en rationell punkt på enhetscirkeln i 1:a kvadranten av koordinatsystemet (dvs x > 0, y > 0), så finns det en primitiv rätvinklig triangel med sidorna xc , yc , c , där c är den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för x och y . Det finns en överensstämmelse mellan punkterna ( a , b ) i x - y- planet och punkterna a + ib i det komplexa planet som används nedan.

Gruppverksamhet

Uppsättningen av rationella punkter på enhetscirkeln, förkortad G i denna artikel, bildar en oändlig abelsk grupp under rotationer. Identitetselementet är punkten (1, 0) = 1 + i 0 = 1. Gruppoperationen, eller "produkt" är ( x , y ) * ( t , u ) = ( xt − uy , xu + yt ). Denna produkt är vinkeltillägg eftersom x = cos ( A ) och y = sin ( A ), där A är vinkeln som vektorn ( x , y ) gör med vektorn (1,0), mätt moturs. Så när ( x , y ) och ( t , u ) bildar vinklarna A och B med (1, 0) respektive, är deras produkt ( xt − uy , xu + yt ) bara den rationella punkten på enhetscirkeln som bildar vinkeln A + B med (1, 0). Gruppoperationen uttrycks lättare med komplexa tal: identifiera punkterna ( x , y ) och ( t , u ) med x + iy respektive t + iu , gruppprodukten ovan är bara den vanliga komplexa talmultiplikationen ( x + iy )( t + iu ) = xt − yu + i ( xu + yt ), vilket motsvarar punkten ( xt − uy , xu + yt ) enligt ovan.

Exempel

3/5 + 4/5 i och 5/13 + 12/13 i (som motsvarar de två mest kända pythagoras trippel (3,4,5) och (5,12,13)) är rationella punkter på enhetscirkeln i det komplexa planet, och är således element i G . Deras gruppprodukt är −33/65 + 56/65 i , vilket motsvarar den pythagoriska trippeln (33,56,65). Summan av kvadraterna på täljarna 33 och 56 är 1089 + 3136 = 4225, vilket är kvadraten på nämnaren 65.

Andra sätt att beskriva gruppen

$G\cong \mathrm {SO} (2,\mathbb {Q} ).$

Mängden av alla 2×2 rotationsmatriser med rationella poster sammanfaller med G. Detta följer av det faktum att cirkelgruppen $S^{1}$ är isomorf till $\ mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$ , och det faktum att deras rationella punkter sammanfaller.

Gruppstruktur

Strukturen av G är en oändlig summa av cykliska grupper . Låt G ₂ beteckna undergruppen av G som genereras av punkten 0 + 1 i . G ₂ är en cyklisk undergrupp av ordning 4. För ett primtal p av formen 4 k + 1, låt G _p beteckna undergruppen av element med nämnaren p ⁿ där n är ett icke-negativt heltal. G _p är en oändlig cyklisk grupp, och punkten ( a ² − b ² )/ p + (2 ab / p ) i är en generator av G _p . Dessutom, genom att faktorisera nämnarna för ett element av G , kan det visas att G är en direkt summa av G ₂ och G _p . Det är:

$G\cong G_{2}\oplus \bigoplus _{p\,\equiv \,1\,({\text{mod }}4)}G_{p}.$

Eftersom det är en direkt summa snarare än direkt produkt , är det bara ändligt många av värdena i G _p: erna som inte är noll.

Exempel

00 Om du ser G som en oändlig direkt summa, betrakta elementet ({ }; 2, 0, 1, 0, 0, ..., 0, ...) där den första koordinaten är i C ₄ och de andra koordinaterna ger potenserna av ( a ² − b ² )/ p ( r ) + i 2 ab / p ( r ), där p ( r ) är det r :te primtalet av formen 4 k + 1. Då motsvarar detta, i G , rationell poäng (3/5 + i 4/5) ² · (8/17 + i 15/17) ¹ = −416/425 + i87/425. Nämnaren 425 är produkten av nämnaren 5 två gånger, och nämnaren 17 en gång, och som i föregående exempel är kvadraten på täljaren −416 plus kvadraten på täljaren 87 lika med kvadraten på nämnaren 425. Den bör också noteras, som en koppling för att bibehålla förståelsen, att nämnaren 5 = p (1) är det första primtal av formen 4 k + 1, och nämnaren 17 = p (3) är det 3:e primtal av formen 4 k + 1.

Enhetshyperbelns grupp av rationella punkter

Det finns ett nära samband mellan denna grupp på enheten hyperbel och gruppen som diskuterats ovan. Om ${\frac {a+ib}{c}}$ är en rationell punkt på enhetscirkeln, där a / c och b / c är reducerade bråk , då ( c / a , b / a ) är en rationell punkt på enheten hyperbel, eftersom $(c/a)^{2}-(b/a)^{2 }=1,$ som uppfyller ekvationen för enhetens hyperbel. Gruppoperationen här är $(x,y)\ gånger (u,v)=(xu+ yv,xv+yu),$ och gruppidentiteten är samma punkt (1, 0) som ovan. I denna grupp finns ett nära samband med hyperbolisk cosinus och hyperbolisk sinus , vilket är parallellt med sambandet med cosinus och sinus i enhetscirkelgruppen ovan.

Kopior i en större grupp

Det finns isomorfa kopior av båda grupperna, som undergrupper (och som geometriska objekt) av gruppen av de rationella punkterna på den abelska varieteten i fyrdimensionellt utrymme som ges av ekvationen $w^{2}+x^{2}-y^{2}+z^{2}=0.$ Observera att den här varianten är uppsättningen punkter med Minkowski-metrik i förhållande till ursprunget lika med 0. Identiteten i denna större grupp är (1, 0, 1, 0), och gruppoperationen är $(a,b,c,d)\times (w,x,y,z)=(aw-bx,ax+bw,cy+dz,cz+dy).$

För gruppen på enhetscirkeln är den lämpliga undergruppen undergruppen av punkter i formen ( w , x , 1, 0), med $w^{2}+x^{ 2}=1,$ och dess identitetselement är (1, 0, 1, 0). Enhetshyperbolgruppen motsvarar formpunkter (1, 0, y , z ), med $y^{2}-z^{2}=1,$ och identiteten är igen (1, 0, 1, 0). (Självklart, eftersom de är undergrupper till den större gruppen, måste de båda ha samma identitetselement.)

Se även

• Cirkelgrupp

• The Group of Rational Points on the Unit Circle [1] , Lin Tan, Mathematics Magazine Vol. 69, nr 3 (juni 1996), s. 163–171
• The Group of Primitive Pythagorean Triangles [2] , Ernest J. Eckert, Mathematics Magazine Vol 57 No. 1 (januari, 1984), s 22–26
• ''Rationella punkter på elliptiska kurvor'' Joseph Silverman