Pseudoisotopisatsen

Inom matematiken är pseudoisotopisatsen en sats av Jean Cerf som hänvisar till anslutningen av en grupp diffeomorfismer av en mångfald .

Påstående

Givet ett differentierbart mångfald M (med eller utan gräns), är en pseudo-isotopidiffomorfism av M en diffeomorfism av M × [0, 1] som begränsar till identiteten på ${\ displaystyle M\times \{0\}\cup \partial M\times [0,1]}$ .

Givet $f:M\times [0,1]\to M\times [0,1]$ en pseudo-isotopidffeomorfism, dess begränsning till $M\times \{1\}$ är en diffeomorfism $g$ av M . Vi säger g är pseudo-isotop för identiteten . Man bör tänka på en pseudo-isotopi som något som nästan är en isotop - hindret för att ƒ är en isotop av g för identiteten är huruvida ƒ bevarar nivåuppsättningarna $M\times \ eller inte {t\}$ för $t\in [0,1]$ .

Cerfs teorem säger att, förutsatt att M är enkelt ansluten och dim( M ) ≥ 5, är gruppen av pseudo-isotopiska diffeomorfismer av M ansluten. På motsvarande sätt är en diffeomorfism av M isotopisk för identiteten om och endast om den är pseudo-isotop för identiteten.

Relation till Cerf-teorin

Utgångspunkten för beviset är att tänka på höjdfunktionen som en 1-parameters familj av jämna funktioner på M genom att betrakta funktionen $\pi _{[0,1]$ . Man tillämpar då Cerf-teorin .