CA-grupp

Inom matematiken , inom gruppteorin , sägs en grupp vara en CA-grupp eller centraliserad abelisk grupp om centraliseraren av något icke-identitetselement är en abelsk undergrupp . Finita CA-grupper är av historisk betydelse som ett tidigt exempel på den typ av klassificeringar som skulle användas i Feit-Thompson-satsen och klassificeringen av finita enkla grupper . Flera viktiga oändliga grupper är CA-grupper, såsom fria grupper , Tarski-monster och vissa Burnside-grupper , och de lokalt ändliga CA-grupperna har klassificerats explicit. CA-grupper kallas också kommutativ-transitiva grupper (eller CT-grupper för kort) eftersom kommutativitet är en transitiv relation mellan icke-identitetselementen i en grupp om och endast om gruppen är en CA-grupp.

Historia

Lokalt ändliga CA-grupper klassificerades av flera matematiker från 1925 till 1998. Först visades ändliga CA-grupper vara enkla eller lösbara i ( Weisner 1925 ). Sedan i Brauer-Suzuki-Wall-satsen ( Brauer, Suzuki & Wall 1958 ) visades ändliga CA-grupper av jämn ordning vara Frobenius-grupper , abelska grupper eller tvådimensionella projektiva speciallinjära grupper över ett ändligt fält av jämn ordning, PSL(2, 2 ^f ) för f ≥ 2. Slutligen visades ändliga CA-grupper av udda ordning vara Frobenius-grupper eller abelska grupper i ( Suzuki 1957 ), och så i synnerhet, är aldrig icke-abelska enkla.

CA-grupper var viktiga i samband med klassificeringen av ändliga enkla grupper . Michio Suzuki visade att varje finit , enkel , icke-abelisk, CA-grupp är av jämn ordning . Detta resultat utökades först till Feit-Hall-Thompson-satsen som visar att ändliga, enkla, icke-abelska, CN-grupper hade jämn ordning, och sedan till Feit-Thompson-satsen som säger att varje ändlig, enkel, icke-abelisk grupp är av jämn ordning. En läroboksbeskrivning av klassificeringen av finita CA-grupper ges som exempel 1 och 2 i ( Suzuki 1986 , s. 291–305). En mer detaljerad beskrivning av Frobenius-grupperna som förekommer ingår i ( Wu 1998 ), där det visas att en finit, lösbar CA-grupp är en halvdirekt produkt av en abelisk grupp och en fixpunktsfri automorfism, och att omvänt varje en sådan halvdirekt produkt är en ändlig, lösbar CA-grupp. Wu utökade också klassificeringen av Suzuki et al. till lokalt ändliga grupper .

Exempel

Varje abelisk grupp är en CA-grupp, och en grupp med ett icke-trivialt centrum är en CA-grupp om och bara om den är abelsk. De ändliga CA-grupperna klassificeras: de lösbara är halvdirekta produkter av abelska grupper efter cykliska grupper så att varje icke-trivialt element verkar fixpunktsfritt och inkluderar grupper som de dihedriska grupperna av ordningen 4 k +2, och alternerande grupp på 4 ordningspunkter 12, medan de olösliga är alla enkla och är de 2-dimensionella projektiva speciallinjära grupperna PSL(2, 2 ⁿ ) för n ≥ 2. Oändliga CA-grupper inkluderar fria grupper , PSL(2, R ) , och Burnside-grupper av stora prime exponent, ( Lyndon & Schupp 2001, s. 10). Några nyare resultat i det oändliga fallet ingår i ( Wu 1998 ), inklusive en klassificering av lokalt ändliga CA-grupper. Wu observerar också att Tarski-monster är uppenbara exempel på oändliga enkla CA-grupper.

Anförda verk

Brauer, R .; Suzuki, Michio ; Wall, GE (1958), "A characterization of the one-dimensional unimodular projective groups over finite fields", Illinois Journal of Mathematics , 2 : 718–745, ISSN 0019-2082 , MR 0104734
Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2001), Combinatorial group theory , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41158-1 , MR 0577064
Suzuki, Michio (1957), "The nonexistence of a certain type of simple groups of odd order", Proceedings of the American Mathematical Society , 8 (4): 686–695, doi : 10.2307/2033280 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033280 , MR 0086818
Suzuki, Michio (1986), Gruppteori. II , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], vol. 248, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-10916-9 , MR 0815926
Weisner, L. (1925), "Grupper där normaliseraren av varje element utom identitet är abelisk", Bulletin of the American Mathematical Society , 31 : 413–416, doi : 10.1090/S0002-9904-1925-04079-3 , ISSN 0002-9904 , JFM 51.0112.06
Wu, Yu-Fen (1998), "Groups in which commutativity is a transitive relation", Journal of Algebra , 207 (1): 165–181, doi : 10.1006/jabr.1998.7468 , ISSN 0021-8693 , MR 82164 , MR 82164