Brumer-Stark gissning

Brumer -Stark-förmodan är en gissning inom algebraisk talteori som ger en grov generalisering av både den analytiska klasstalsformeln för Dedekinds zetafunktioner och även av Stickelbergers sats om faktorisering av Gausssummor . Den är uppkallad efter Armand Brumer och Harold Stark .

Det uppstår som ett specialfall (abeliskt och första ordningens) av Starks gissning , när platsen som delar sig helt i förlängningen är ändlig. Det finns mycket få fall där gissningen är känd för att vara giltig. Dess betydelse uppstår, till exempel, från dess koppling till Hilberts tolfte problem .

Uttalande av gissningen

Låt $K / k$ vara en abelsk förlängning av globala fält , och låt $S$ vara en uppsättning platser av $k$ som innehåller de arkimedeiska platserna och de främsta idealen som förgrenar sig i $K / k$ . Den $S$ -imprimitiva ekvivarianten Artin L-funktionen $θ (s)$ erhålls från den vanliga ekvivarianta Artin L-funktionen genom att ta bort Euler-faktorerna som motsvarar primtalen i $S$ från Artin L-funktionerna från vilka den ekvivarianta funktionen är uppbyggd. Det är en funktion på de komplexa talen som tar värden i den komplexa gruppringen $C [G]$ där $G$ är Galoisgruppen av $K / k$ . Den är analytisk på hela planet, förutom en ensam enkel pol vid $s = 1$ .

Låt $μ K$ vara gruppen av enhetsrötter i $K$ . Gruppen $G$ verkar på $μ K$ ; låt $A$ vara annihilatorn av $μK_$ som en $Z [G]$ -modul . En viktig teorem, först bevisad av CL Siegel och senare oberoende av Takuro Shintani , säger att $θ (0)$ faktiskt är i $Q [G]$ . Ett djupare teorem, bevisat oberoende av Pierre Deligne och Ken Ribet , Daniel Barsky och Pierrette Cassou-Noguès, säger att $Aθ (0)$ är i $Z [G]$ . Speciellt $Wθ (0)$ i $Z [G]$ , där $W$ är kardinaliteten av $μK .$

Den ideala klassgruppen av $K$ är en $G$ -modul . Från diskussionen ovan kan vi låta $Wθ (0)$ agera på det. Brumer-Stark gissningen säger följande:

Brumer-Stark förmodan. För varje bråksideal som inte är noll ${\mathfrak {a}}$ av $K$ , finns det en "anti-enhet" $ε$ sådan att

${\mathfrak {a}}^{W\theta (0)}=(\varepsilon ).$
Tillägget $K\left(\varepsilon ^{\frac {1}{W}}\right)/k$ är abelsk.

Den första delen av denna gissning beror på Armand Brumer, och Harold Stark föreslog ursprungligen att det andra villkoret kunde gälla. Förmodan uppgavs först i publicerad form av John Tate .

Termen "anti-enhet" hänvisar till villkoret att $| ε | ν$ måste vara 1 för varje arkimedesk plats $ν$ .

Framsteg

Den Brumer Stark gissningen är känd för att vara sant för förlängningar $K / k$ där

$K / Q$ är cyklotomisk: detta följer av Stickelbergers sats
$K$ är abelsk över $Q$
$K / k$ är en kvadratisk förlängning
$K / k$ är en biquadratisk förlängning

Samit Dasgupta och Mahesh Kakde postade en artikel på Annals of Mathematics om gissningarna.

Funktionsfält analog

Det analoga påståendet i funktionsfältfallet är känt för att vara sant, efter att ha bevisats av John Tate och Pierre Deligne , med ett annat bevis av David Hayes.