Bramble–Hilbert lemma

Inom matematik , särskilt numerisk analys , begränsar Bramble–Hilbert -lemmat , uppkallat efter James H. Bramble och Stephen Hilbert , felet i en approximation av en funktion $\textstyle u$ med ett polynom av ordning högst $\textstyle m-1$ i termer av derivator av $\textstyle u$ av ordningen $\textstyle m$ . Både approximationens fel och derivatorna av $\textstyle u$ mäts med $\textstyle L^{p}$ normer på en avgränsad domän i $\textstyle \mathbb { R} ^{n}$ . Detta liknar klassisk numerisk analys, där till exempel felet för linjär interpolation $\textstyle u$ kan begränsas med hjälp av andraderivatan av $\textstyle u$ . Bramble–Hilbert-lemmat gäller dock i valfritt antal dimensioner, inte bara en dimension, och approximationsfelet och derivatorna av $\textstyle u$ mäts med mer allmänna normer som involverar medelvärden, inte bara den maximala normen .

Ytterligare antaganden om domänen behövs för att Bramble–Hilbert-lemmat ska hålla. I huvudsak gränsen för domänen vara "rimlig". Till exempel exkluderas domäner som har en spik eller en slits med noll vinkel vid spetsen. Lipschitz-domäner är rimliga nog, vilket inkluderar konvexa domäner och domäner med kontinuerligt differentierbar gräns.

Den huvudsakliga användningen av Bramble–Hilbert-lemmat är att bevisa gränserna för interpolationsfelet av funktion $\textstyle u$ av en operator som bevarar polynom av ordning upp till $\textstyle m-1$ , i termer av derivatorna av $\textstyle u$ av ordningen $\textstyle m$ . Detta är ett viktigt steg i feluppskattningar för finita elementmetoden . Bramble–Hilbert-lemmat tillämpas där på domänen som består av ett element (eller, i vissa superkonvergensresultat , ett litet antal element).

Det endimensionella fallet

Innan du anger lemmat i full allmänhet är det bra att titta på några enkla specialfall. I en dimension och för en funktion $\textstyle u$ som har $\textstyle m$ -derivator på intervall $\textstyle \left(a,b\right)$ , lemma reducerar till

$\inf _{v\in P_{m-1}}{\bigl \Vert }u^{\left(k\right)} -v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m,k\right)\left( ba\right)^{mk}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}{\ text{ för varje heltal }}k\leq m{\text{ och utökad real }}p\geq 1,$

där $\textstyle P_{m-1}$ är rymden för alla polynom med högst grad $\textstyle m-1$ och $f^{ (k)}$ indikerar $k$ :e derivatan av en funktion $f$ .

I fallet när $\textstyle p=\infty$ , $\textstyle m=2$ , $\textstyle k=0$ och $\textstyle u$ är dubbelt differentierbar, detta betyder att det finns ett polynom $\textstyle v$ av grad ett så att för alla $\textstyle x\in \left(a,b\ höger)$ ,

$\left\vert u\left(x\right)-v\left(x\right)\right\vert \leq C\left(ba\right)^{2}\sup _{\left(a ,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .$

Denna olikhet följer också av den välkända feluppskattningen för linjär interpolation genom att välja $\textstyle v$ som den linjära interpolanten av $\textstyle u$ .

Uttalande av lemma

Antag att $\textstyle \Omega$ är en avgränsad domän i ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{n}} ,$ n $\displaystyle \textstyle n\geq 1}$ , med gräns $\textstyle \partial \Omega$ och diameter $\textstyle d$ . $\textstyle W_{p}^{k}(\Omega )$ är Sobolev-utrymmet för alla funktioner $\textstyle u$ på $\textstyle \Omega$ med svaga derivator $\textstyle D^{\alpha }u$ av ordning $\textstyle \left\vert \alpha \right\vert$ upp till $\textstyle k$ i $\textstyle L^{p}(\Omega )$ . Här är $\textstyle \alpha =\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n} \right)$ är ett multiindex , $\textstyle \left\vert \alpha \right\vert =$$\textstyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots + \alpha _{n}$ och $\textstyle D^{\alpha }$ betecknar derivatan $\textstyle \alpha _{1}$ gånger med avseende på $\textstyle x_{1}$ , $\textstyle \alpha _{2}$ gånger med avseende på $\textstyle x_{2}$ och så vidare. Sobolev-seminormen på $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )$ består av ${\displaystyle \textstyle L^{p}}-$ normerna av högsta ordningens derivator ,

$\left\vert u\right\vert _{W_ {p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha}u\right\Vert _{ L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty$

och

$\left\vert u\right\vert _{W_{\infty }^{m}(\Omega )}=\max _{\left\vert \ alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}$

$\textstyle P_{k}$ är utrymmet för alla polynom av ordning upp till $\textstyle k$ på $\textstyle \mathbb {R} ^{n}$ . Observera att $\textstyle D^{\alpha }v=0$ för alla $\textstyle v\in P_{m-1}$ och $\textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m$ , så ${\displaystyle \textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}} har samma$ värde för alla $\textstyle v\in P_{m-1}$ .

Lemma (Bramble och Hilbert) Under ytterligare antaganden på domänen ${\displaystyle \textstyle \Omega } ,$ specificerad nedan, finns det en konstant $\textstyle C=C\left(m, \Omega \right)$ oberoende av $\textstyle p$ och $\textstyle u$ så att för alla $\textstyle u\in W_{p}^ {m}(\Omega )$ finns det ett polynom $\textstyle v\in P_{m-1}$ så att för alla $\textstyle k =0,\ldots ,m,$

$\left\vert uv\right\vert _{W_{p}^{k}(\Omega )}\leq Cd^{mk}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^ {m}(\Omega )}.$

Det ursprungliga resultatet

Lemmat bevisades av Bramble och Hilbert under antagandet att $\textstyle \Omega$ uppfyller den starka konegenskapen; det vill säga det finns ett ändligt öppet täcke $\textstyle \left\{O_{i}\right\}$ av $\textstyle \partial \Omega$ och motsvarande koner $\textstyle \{C_{i}\}$ med hörn i origo så att $\textstyle x+C_{i}$ ingår i $\textstyle \Omega$ för alla $\textstyle x$$\textstyle \in \Omega \cap O_{i}$ .

Utsagan av lemma här är en enkel omskrivning av den högra olikheten som anges i sats 1 i. Det faktiska påståendet i är att normen för faktorrymden $\textstyle W_ {p}^{m}(\Omega )/P_{m-1}$ är ekvivalent med $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )$ seminorm. W ${\displaystyle \textstyle W_{p}^{m}(\Omega )}-$ är inte den vanliga utan termerna skalas med $\textstyle d$ så att den högra- hand ojämlikhet i seminormernas ekvivalens kommer ut precis som i påståendet här.

I det ursprungliga resultatet är valet av polynomet inte specificerat, och värdet på konstanten och dess beroende av domänen $\textstyle \Omega$ kan inte bestämmas utifrån beviset.

En konstruktiv form

Ett alternativt resultat gavs av Dupont och Scott under antagandet att domänen $\textstyle \Omega$ är stjärnformad ; det vill säga det finns en boll $\textstyle B$ så att för valfri ${\displaystyle \textstyle x\in \Omega } ,$ det stängda konvexa skrovet av $\textstyle \ left\{x\right\}\cup B$ är en delmängd av $\textstyle \Omega$ . Antag att $\textstyle \rho _{\max }$ är det högsta av diametrarna för sådana bollar. Förhållandet $\textstyle \gamma =d/\rho _{\max }$ kallas chunkiness av $\textstyle \Omega$ .

Då gäller lemma med konstanten ${\displaystyle \textstyle C=C\left(m,n,\gamma \right)} ,$ det vill säga konstanten beror på domänen ${ \displaystyle \textstyle \Omega }$ endast genom dess chunkiness $\textstyle \gamma$ och dimensionen av utrymmet $\textstyle n$ . Dessutom $v$ väljas som $v=Q^{m}u$ , där $\textstyle Q^{m}u$ är medelvärdet Taylorpolynom , definieras som

$Q^{m}u=\int _{B}T_{y}^{m}u\left(x\ höger)\psi \left(y\right)\,dx,$

var

$T_{y}^{m}u\left(x\right)=\summa \limits _{k=0}^{m-1}\summa \limits _{\left\vert \alpha \right\vert =k}{\frac {1}{\alpha !}}D^{\alpha }u\left(y\right)\left(xy\right) ^{\alpha }$

är Taylorpolynomet av högst grad $\textstyle m-1$ av $\textstyle u$ centrerad vid $\textstyle y$ utvärderad vid $\textstyle x$ , och $\textstyle \psi \geq 0$ är en funktion som har derivator av alla ordningar, lika med noll utanför $\textstyle B$ , och så att

$\int _{B}\psi \,dx=1.$

En sådan funktion $\textstyle \psi$ finns alltid.

För mer information och en handledningsbehandling, se monografin av Brenner och Scott. Resultatet kan utökas till det fall då domänen $\textstyle \Omega$ är föreningen av ett ändligt antal stjärnformade domäner, som är något mer generellt än egenskapen stark kon, och andra polynomrum än rymden av alla polynom upp till en given grad.

Bundet på linjära funktionaler

Detta resultat följer omedelbart av ovanstående lemma, och det kallas ibland också Bramble–Hilbert-lemmat, till exempel av Ciarlet . Det är i huvudsak sats 2 från.

Lemma Antag att $\textstyle \ell$ är en kontinuerlig linjär funktion på $\textstyle W_{p}^{m}(\Omega )$ och ${\displaystyle \textstyle \left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^{\prime }}}} dess$ dubbla norm . Antag att $\textstyle \ell \left(v\right)=0$ för alla $\textstyle v\in P_{m-1}$ . Då finns det en konstant $\textstyle C=C\left(\Omega \right)$ så att

$\left\vert \ell \left(u\right)\right\vert \leq C\left\Vert \ell \right\Vert _{W_{p}^{m}(\Omega )^{^ {\prime }}}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}.$

externa länkar

• Raytcho D. Lazarov (2001) [1994], "Bramble–Hilbert lemma" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• https://arxiv.org/abs/0710.5148 – Jan Mandel : The Bramble–Hilbert Lemma