Brahmaguptas identitet

I algebra säger Brahmaguptas identitet att, för given $n$ , är produkten av två tal av formen $a^{2}+nb^{2}}$ displaystyle i sig själv ett tal av den formen. Med andra ord stängs uppsättningen av sådana tal under multiplikation. Specifikt:

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^ {2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left (ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},&&&(2)\end{aligned}}

Både (1) och (2) kan verifieras genom att expandera varje sida av ekvationen. Dessutom kan (2) erhållas från (1), eller (1) från (2), genom att ändra b till − b .

Denna identitet finns i både ringen av heltal och ringen av rationella tal , och mer allmänt i vilken kommutativ ring som helst .

Historia

Identiteten är en generalisering av den så kallade Fibonacci-identiteten (där n =1) som faktiskt finns i Diophantus ' Arithmetica (III, 19). Den identiteten återupptäcktes av Brahmagupta (598–668), en indisk matematiker och astronom , som generaliserade den och använde den i sin studie av vad som nu kallas Pells ekvation . Hans Brahmasphutasiddhanta översattes från sanskrit till arabiska av Mohammad al-Fazari och översattes därefter till latin 1126. Identiteten dök senare upp i Fibonaccis bok om kvadrater 1225.

Tillämpning på Pells ekvation

I sitt ursprungliga sammanhang tillämpade Brahmagupta sin upptäckt på lösningen av vad som senare kallades Pells ekvation , nämligen x ² − Ny ² = 1. Använda identiteten i formen

(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2} +Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

han kunde "komponera" trippel ( x ₁ , y ₁ , k ₁ ) och ( x ₂ , y ₂ , k ₂ ) som var lösningar av x ² − Ny ² = k , för att generera den nya trippeln

(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{ 1}k_{2}).

Detta gav inte bara ett sätt att generera oändligt många lösningar till x ² − Ny ² = 1 med utgångspunkt i en lösning, utan också, genom att dividera en sådan sammansättning med k ₁ k ₂ , kunde ofta heltals- eller "nästan heltalslösningar" erhållas . Den allmänna metoden för att lösa Pell-ekvationen som gavs av Bhaskara II 1150, nämligen den chakravala (cykliska) metoden , baserades också på denna identitet.

Se även

externa länkar