Beauville–Laszlos sats

I matematik är Beauville –Laszlos sats ett resultat i kommutativ algebra och algebraisk geometri som gör att man kan "limma" två skivor över en oändlig grannskap av en punkt på en algebraisk kurva . Det bevisades av Arnaud Beauville och Yves Laszlo ( 1995 ).

Teoremet

⁰ Även om det har implikationer i algebraisk geometri, är satsen ett lokalt resultat och anges i sin mest primitiva form för kommutativa ringar . Om A är en ring och f är ett icke-nollelement av A _, så kan vi bilda två härledda ringar: lokaliseringen vid f , Af , och kompletteringen vid Af ,  ; båda är A - algebror . I det följande antar vi att f är en divisor som inte är noll. Geometriskt betraktas A som ett schema X = Spec A och f som en divisor ( f ) på Spec A ; då A _f dess komplement D _f = Spec A _f , den huvudsakliga öppna mängden bestäms av f , medan  är en "infinitesimal grannskap" D = Spec  av ( f ). Skärningspunkten mellan D _f och Spec  är en "punkterad infinitesimal grannskap" D ungefär ( f ), lika med Spec  ⊗ _A A _f = Spec  _f .

Antag nu att vi har en A - modul M ; geometriskt sett M en bunt på Spec A , och vi kan begränsa den till både den huvudsakliga öppna mängden D _f och den infinitesimala grannskapet Spec  , vilket ger en A _f -modul F och en  -modul G . Algebraiskt,

$F=M\otimes _{A}A_{f}=M_{f}\qquad G=M\otimes _{A}{\hat {A}}.$

⁰ (Trots notationsfrestelsen att skriva ${\displaystyle G={\widehat {M}}} , vilket betyder att$ A -modulen M är fullbordad vid den ideala Af , såvida inte A är noetersk och M är ändligt genererad, de två är i själva verket inte likvärdiga. Detta fenomen är huvudorsaken till att satsen bär namnen Beauville och Laszlo; i det noetherska, ändligt genererade fallet är det, som författarna noterat, ett specialfall av Grothendiecks troget platta härkomst .) F och G kan båda begränsas ytterligare till det punkterade området D , och eftersom båda begränsningarna i slutändan härrör från M är de isomorfa: vi har en isomorfism

$\phi \colon G_{f}{\xrightarrow {\sim }}F\otimes _{A_{f}}{\hat {A}}_{f}=F\otimes _{A}{\ hatt {A}}.$

⁰ Betrakta nu den omvända situationen: vi har en ring A och ett element f , och två moduler: en A _f -modul F och en  -modul G , tillsammans med en isomorfism φ enligt ovan. Geometriskt ges vi ett schema X och både en öppen mängd Df och en "liten" grannskap D av dess slutna komplement ( _f ) ; på D _f och D får vi två skivor som överensstämmer i skärningspunkten D = D _f ∩ D . Om D var en öppen uppsättning i Zariski-topologin skulle vi kunna limma skivorna; Innehållet i Beauville–Laszlos sats är att, under ett tekniskt antagande på f , gäller samma sak för det infinitesimala området D också.

Sats : Givet A , f , F , G , och φ som ovan, om G inte har någon f -torsion, så finns det en A -modul M och isomorfismer

$\alpha \colon M_{f}{\xrightarrow {\sim }}F\qquad \beta \colon M\otimes _{A} {\hat {A}}{\xrightarrow {\sim }}G$

överensstämmer med isomorfismen φ : φ är lika med sammansättningen

$G_{f}=G\otimes _{A}A_{f}{\xrightarrow {\beta ^{-1}\otimes 1}}M\otimes _{A}{\hat {A}}\ ibland _{A}A_{f}=M_{f}\otimes _{A}{\hat {A}}{\xrightarrow {\alpha \otimes 1}}F\otimes _{A}{\hat {A }}.$

Det tekniska tillståndet att G inte har någon f -torsion kallas av författarna som " f -regelbundenhet". I själva verket kan man ange en starkare version av detta teorem. Låt M ( A ) _vara kategorin av A -moduler (vars morfismer är A -modulhomomorfismer) och låt Mf ( A ) vara hela underkategorin av f -reguljära moduler. I denna notation får vi ett kommutativt diagram av kategorier ₍ notera M _f ( Af ) = M ( Af ) ₎ :

${\begin{array}{ccc}\mathbf {M} _{f}(A) &\longrightarrow &\mathbf {M} _{f}({\hat {A}})\\\downarrow &&\downarrow \\\mathbf {M} (A_{f})&\longrightarrow &\mathbf {M } ({\hat {A}}_{f})\end{array}}$

där pilarna är basförändringskartorna; till exempel verkar den övre horisontella pilen på objekt med M → M ⊗ _A Â .

Sats : Diagrammet ovan är ett kartesiskt diagram över kategorier.

Global version

I geometriskt språk tillåter Beauville–Laszlos sats en att limma remsor på ett endimensionellt affint schema över en oändlig omgivning av en punkt. Eftersom skivor har en "lokal karaktär" och eftersom vilket schema som helst är lokalt affint, tillåter satsen ett globalt uttalande av samma karaktär. Den version av detta uttalande som författarna fann anmärkningsvärd gäller vektorbuntar :

Sats : Låt X vara en algebraisk kurva över ett fält k , x a k - rationell jämn punkt på X med infinitesimal grannskap D = Spec k [[ t ]], R a k -algebra och r ett positivt heltal. Då passar kategorin Vect _r ( X _R ) av rank- r vektorbuntar på kurvan X _R = X × _{Spec k} Spec R in i ett kartesiskt diagram:

${\begin {array}{ccc}\mathbf {Vect} _{r}(X_{R})&\longrightarrow &\mathbf {Vect} _{r}(D_{R})\\\downarrow &&\downarrow \\\ mathbf {Vect} _{r}((X\setminus x)_{R})&\longrightarrow &\mathbf {Vect} _{r}(D_{R}^{0})\end{array}}$

Detta medför en konsekvens som anges i tidningen:

Följd : Med samma uppsättning, beteckna med Triv ( X _R ) mängden trippel ( E , τ , σ ), där E är en vektorbunt på X _R , τ är en trivialisering av E över ( X \ x ) _R ( dvs en isomorfism med den triviala bunten O ( _{X - x ) R )} , och σ en trivialisering över DR _. Sedan ger kartorna i diagrammet ovan en bijektion mellan Triv ( X _R ) och GL _r ( R (( t ))) (där R (( t )) är den formella Laurent-seriens ring).

⁰ _{följer av satsen genom att trippeln är associerad} med den unika matrisen som, sedd som en "övergångsfunktion" över DR mellan trivialbuntarna över ( X \ x ) _R och över DR , tillåter limning av dem till E , varvid de naturliga trivialiseringen av det limmade knippet sedan identifieras med σ och τ . Vikten av denna följd är att den visar att den affina Grassmannian kan bildas antingen från data från buntar över en infinitesimal skiva, eller buntar på en hel algebraisk kurva.

•   Beauville, Arnaud ; Laszlo, Yves (1995), "Un lemme de descente" (PDF) , Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 320 (3): 335–340, ISSN 0764-4442 , hämtad 2008-04-08