Pre-Lie algebra

Inom matematik är en pre-Lie-algebra en algebraisk struktur på ett vektorutrymme som beskriver vissa egenskaper hos objekt som rotade träd och vektorfält på affint utrymme .

Begreppet pre-Lie algebra har introducerats av Murray Gerstenhaber i hans arbete om deformationer av algebror.

Pre-Lie algebror har ansetts under några andra namn, bland vilka man kan citera vänstersymmetriska algebror, högersymmetriska algebror eller Vinberg algebror.

Definition

En pre-Lie algebra $(V,\triangleleft )$ är ett vektorrum $V$ med en bilinjär karta $\triangleleft :V\otimes V\till V$ , som uppfyller förhållandet $(x\triangleleft y)\triangleleft zx\triangleleft (y\triangleleft z)=(x\triangleleft z)\triangleleft yx\triangleleft (z\triangleleft y).$

Denna identitet kan ses som invariansen för associatorn ( $\displaystyle (x,y,z)=(x\triangleleft y )\triangleleft zx\triangleleft (y\triangleleft z)}$ under utbytet av de två variablerna $y$ och $z$ .

Varje associativ algebra är därför också en pre-Lie-algebra, eftersom associatorn försvinner på samma sätt. Även om den är svagare än associativitet, innebär den definierande relationen för en pre-Lie-algebra fortfarande att kommutatorn $x\triangleleft yy\triangleleft x$ är en Lie-parentes. I synnerhet följer Jacobi-identiteten för kommutatorn från cykling av $x,y,z$ -termerna i den definierande relationen för pre-Lie-algebror, ovan.

Exempel

Vektorfält på ett affint utrymme

Låt $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ vara en öppen grannskap av $\mathbb {R} ^{n}$ , parametriserad av variabler $x_{1},\cdots ,x_{n}$ . Givet vektorfält $u=u_{i}\partial _{x_{i}}$ , $v=v_{j}\partial _{ x_{j}}$ definierar vi $u\triangleleft v=v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_ {j}}}\partial _{x_{i}}$ .

Skillnaden mellan $(u\triangleleft v)\triangleleft w$ och $u\triangleleft (v\triangleleft w)$ , är ${\displaystyle (u\triangleleft v)\triangleleft wu\triangleleft (v\triangleleft w)= v_{j}w_{k}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}\partial _{x_{i}}} som$ är symmetrisk i $v$ och $w$ . Sålunda $\triangleleft$ en pre-Lie algebrastruktur.

Givet ett mångfaldigt $M$ och homeomorphisms $\phi ,\phi '$ från $U,U'\subset \mathbb {R} ^{n }$ till överlappande öppna kvarter av $M$ definierar de var och en en pre-Lie algebrastruktur $\triangleleft ,\triangleleft '$ på vektorfält definierade på överlappningen. Medan $\triangleleft$ inte behöver överensstämma med $\triangleleft '$ , så överensstämmer deras kommutatorer: ${\displaystyle u\triangleleft vv\triangleleft u=u\triangleleft 'vv\triangleleft 'u=[v,u]} ,$ Lie-parentesen för $v$ och $u$ .

Rotade träd

Låt $\mathbb {T}$ vara det fria vektorutrymmet som spänner över av alla rotade träd.

Man kan introducera en bilinjär produkt $\curvearrowleft$ på $\mathbb {T}$ enligt följande. Låt $\tau _{1}$ och $\tau _{2}$ vara två rotade träd.

$\tau _{1}\curvearrowleft \tau _{2}=\summa _{s \in \mathrm {Vertices} (\tau _{1})}\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}$

där $\tau _{1}\circ _{s}\tau _{2}$ är det rotade trädet som erhålls genom att addera till den disjunkta unionen av $\tau _{ 1}$ och $\tau _{2}$ en kant som går från vertex $s$ på $\tau _{1}$ till rotpunkten för ${\ displaystyle \tau _{2}}$ .

Då är $(\mathbb {T} ,\curvearrowleft )$ en fri pre-Lie-algebra på en generator. Mer generellt är den fria pre-Lie-algebra på vilken uppsättning generatorer som helst konstruerad på samma sätt från träd med varje vertex märkt av en av generatorerna.

•   Chapoton, F.; Livernet, M. (2001), "Pre-Lie algebras and the rooted trees operad", International Mathematics Research Notices , 2001 (8): 395–408, doi : 10.1155/S1073792801000198 , MR 4 182708 .
• Szczesny, M. (2010), Pre-Lie algebras and incidence categories of colored rooted trees , vol. 1007, sid. 4784, arXiv : 1007.4784 , Bibcode : 2010arXiv1007.4784S .