Aritmetisk derivata

I talteorin är Lagarias aritmetiska derivata eller talderivata en funktion definierad för heltal , baserad på primtalsfaktorisering , i analogi med produktregeln för derivatan av en funktion som används i matematisk analys .

Det finns många versioner av "arithmetiska derivator", inklusive den som diskuteras i den här artikeln (Lagarias aritmetiska derivata), såsom Iharas aritmetiska derivata och Buiums aritmetiska derivator.

Tidig historia

Den aritmetiska derivatan introducerades av den spanske matematikern Josè Mingot Shelly 1911. Den aritmetiska derivatan dök också upp i 1950 års Putnam-tävling .

Definition

För naturliga tal $n$ definieras den aritmetiska derivatan $D (n) enligt följande:$

$D (0) = D (1) =$ O.
$D (p) = 1$ för valfritt primtal $p$ .
$D (mn) = D (m) n + mD (n)$ för valfri $m,n\in \mathbb {N}$ ( Leibniz regel ).

Förlängningar bortom naturliga tal

Edward J. Barbeau utökade domänen till alla heltal genom att visa att valet $D (- n) = - D (n)$ , som unikt utökar domänen till heltal, överensstämmer med produktformeln. Barbeau utökade det också till de rationella talen och visade att den välbekanta kvotregeln ger en väldefinierad derivata på $\mathbb {Q}$ :

D\!\left({\frac {m}{n}}\right)={\frac {D(m)n-mD(n)}{n^{2}}}.

Victor Ufnarovski och Bo Åhlander utvidgade det till de irrationella som kan skrivas som produkten av primtal upphöjda till godtyckliga rationella styrkor, vilket gör att uttryck som ${\displaystyle D({\sqrt {3}}\,)} kan$ vara beräknad.

Den aritmetiska derivatan kan också utökas till vilken unik faktoriseringsdomän som helst (UFD), såsom Gauss-heltalen och Eisenstein-heltalen , och dess associerade bråktalsfält . Om UFD är en polynomring , är den aritmetiska derivatan densamma som härledningen över nämnda polynomring. Till exempel är den reguljära derivatan den aritmetiska derivatan för ringarna av univariata reella och komplexa polynomiska och rationella funktioner , vilket kan bevisas med hjälp av algebras grundläggande sats .

Den aritmetiska derivatan har också utökats till ringen av heltal modulo n .

Elementära egenskaper

Leibniz-regeln innebär att $D (0) = 0$ (ta $m = n = 0$ ) och $D (1) = 0$ (ta $m = n = 1$ ).

Potensregeln gäller även för den aritmetiska derivatan . För alla heltal $k$ och $n \geq 0$ :

D(k^{n})=nk^{n-1}D(k).

Detta gör att man kan beräkna derivatan från primtalsfaktoriseringen av ett heltal, ${\textstyle x=\prod _{i=1}^{\omega (x)}{p_{i}}^{\nu _{p_{i}}(x)}}$ :

D(x)=\summa _{i=1}^{\omega (x)}\left[\nu _{p_{i}}(x)\left(\prod _{j=1}^{i -1}{p_{j}}^{\nu _{p_{j}}(x)}\right)p_{i}^{\nu _{p_{i}}-1}\left(\prod _{j=i+1}^{\omega (x)}{p_{j}}^{\nu _{p_{j}}(x)}\right)\right]=\summa _{i= 1}^{\omega (x)}{\frac {\nu _{p_{i}}(x)}{p_{i}}}x=\summa _{\stackrel {p\,\mid \, x}{p{\text{ primtal}}}}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x

där $ω (x)$ , en primtal omegafunktion , är antalet distinkta primtalsfaktorer i $x$ , och $ν p (x)$ är den p -adiska värderingen av $x$ .

Till exempel:

D(60)=D(2^{2}\cdot 3\cdot 5)=\left({\frac {2}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)\cdot 60=92,

eller

D(81)=D(3^{4})=4\cdot 3 ^{3}\cdot D(3)=4\cdot 27\cdot 1=108.

Sekvensen av talderivator för $k = 0, 1, 2, \dots$ börjar (sekvens A003415 i OEIS ):

0,0,1,1,4,1,5,1,12, 6,7,1,16,1,9,\ldots

Relaterade funktioner

Den logaritmiska derivatan $\operatorname {ld} (x)={\frac {D(x)}{x }}=\summa _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p{\text{ primtal}}}}{\frac {\nu _{p}(x)}{p}}$ är en $\operatörsnamn {ld} (x\cdot y)=\operatörsnamn {ld} (x)+\operatörsnamn {ld} (y).$ additiv :

Den aritmetiska partiella derivatan av $x$ med avseende på $p$ definieras som ${\displaystyle x_{p}^{\prime }={\frac {\nu _{p}(x)}{p}}x.} Så den aritmetiska$ derivatan av $x$ ges som $D(x)=\summa _{\stackrel {p\,\mid \,x}{p{\text{ prime}}}}x_{p}^{\prime }.$

En aritmetisk funktion $f$ är Leibniz-additiv om det finns en totalt multiplikativ funktion $h_{f}$ så att $f(mn)=f(m)h_{f}(n)+f(n)h_{f}(m)$ för alla positiva heltal $m$ och $n$ . En motivering för detta koncept är det faktum att Leibniz-additiva funktioner är generaliseringar av den aritmetiska derivatan $D$ ; nämligen $D$ är Leibniz-additiv med $h_{D}(n)=n$ .

Funktionen $\delta$ som ges i avsnitt 3.5 i boken av Sandor och Atanassov är i själva verket exakt samma som den vanliga aritmetiska derivatan $D$ .

Ojämlikheter och gränser

EJ Barbeau undersökte gränserna för den aritmetiska derivatan och fann att

D(n)\leq {\frac {n\log _{2}n}{2}}

och

D(n)\geq \Omega (n)\,n^{\frac {\Omega (n)-1} {\Omega (n)}}

där $Ω(n)$ , en primtal omegafunktion , är antalet primtalsfaktorer i $n$ . I båda gränserna ovan uppstår alltid likhet när $n$ är en potens av 2 .

Dahl, Olsson och Loiko fann att den aritmetiska derivatan av naturliga tal är begränsad av

D(n)\leq {\frac {n\log _{p}n}{p}}

där $p$ är det minsta primtal i $n$ och likhet gäller när $n$ är en potens av $p$ .

Alexander Loiko, Jonas Olsson och Niklas Dahl fann att det är omöjligt att hitta liknande gränser för den aritmetiska derivatan utvidgad till rationella tal genom att bevisa att det mellan två rationella tal finns andra rationaler med godtyckliga stora eller små derivator (observera att detta betyder att aritmetisk derivata är inte en kontinuerlig funktion från $\mathbb {Q}$ till ${\displaystyle \mathbb {Q} } )$ .

Genomsnittets ordning

Vi har

\sum _{n\leq x}{\frac {D(n)}{n}}= T_{0}x+O(\log x\log \log x)

och

\sum _{n\leq x}D(n)=\left({\frac {1} {2}}\right)T_{0}x^{2}+O(x^{1+\delta })

för vilken som helst δ > 0, där

T_{0}=\summa _{p}{\frac {1}{p(p-1)}}.

Relevans för talteorin

Victor Ufnarovski och Bo Åhlander har i detalj beskrivit funktionens koppling till berömda talteoretiska gissningar som tvillingprimtalsförmodan , primtaltrippelförmodan och Goldbachs gissning . Till exempel skulle Goldbachs gissning antyda, för varje $k > 1$ existensen av ett $n$ så att $D (n) = 2 k$ . Tvillingprimtalsförmodan skulle innebära att det finns oändligt många $k$ för vilka $D 2 (k) = 1$ .

Se även

Anteckningar

Barbeau, EJ (1961). "Anmärkningar om en aritmetisk derivata" . Kanadensisk matematisk bulletin . 4 (2): 117–122. doi : 10.4153/CMB-1961-013-0 . Zbl 0101.03702 .
Ufnarovski, Victor; Åhlander, Bo (2003). "Hur man differentierar ett nummer" . Journal of Integer Sequences . 6 . Artikel 03.3.4. ISSN 1530-7638 . Zbl 1142.11305 .
Aritmetisk derivata , Planet Math , tillgänglig 04:15, 9 april 2008 (UTC)
L. Westrick (2003). Undersökningar av talderivatan .
Peterson, I. Math Trek: Att härleda talens struktur .
Stanna, Michael (2005). "Generaliserade talderivat" . Journal of Integer Sequences . 8 . Artikel 05.1.4. arXiv : math/0508364 . ISSN 1530-7638 . Zbl 1065.05019 .
Dahl N., Olsson J., Loiko A., Undersökning av den aritmetiska derivatans egenskaper .
Balzarotti, Giorgio; Lava, Paolo Pietro (2013). La derivata aritmetica. Alla scoperta di un nuovo approccio alla teoria dei numeri . Milan: Hoepli. ISBN 978-88-203-5864-8 .
Sandor, Jozsef; Atanassov, Krassimir (2021). Aritmetiska funktioner, avsnitt 3.5 . Nova Science Publishers.

Koviˇc, Jurij (2012). "Den aritmetiska derivatan och antiderivatan" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 15 (3,8).
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Mattila, Mika; Tossavainen, Timo (2017). "Den aritmetiska jakobianska matrisen och determinanten" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 20 . Artikel 17.9.2. ISSN 1530-7638 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2016). "Om aritmetiska partiella differentialekvationer" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 19 . ISSN 1530-7638 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2018). "Den aritmetiska derivatan och Leibniz-additiva funktioner" . Anteckningar om talteori och diskret matematik . 24 (3): 68–76. doi : 10.7546/nntdm.2018.24.3.68-76 . S2CID 119688466 .
Haukkanen, Pentti (2019). "Generaliserad aritmetisk underderivata" . Anteckningar om talteori och diskret matematik . 25 (2): 1–7. doi : 10.7546/nntdm.2019.25.2.1-7 . S2CID 198468574 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2020). "Aritmetiska underderivat: p-adisk diskontinuitet och kontinuitet" . Journal of Integer Sequences . 23 . Artikel 20.7.3. ISSN 1530-7638 .
Haukkanen, Pentti; Merikoski, Jorma K.; Tossavainen, Timo (2020). "Asymptotik av partiella summor av Dirichlet-serien av den aritmetiska derivatan" . Matematisk kommunikation . 25 .
Merikoski, Jorma K.; Haukkanen, Pentti; Tossavainen, Timo (2019). "Aritmetiska underderivat och Leibniz-additiva funktioner" ( PDF) . Annales Mathematicae et Informaticae . 50 .
Merikoski, Jorma K.; Haukkanen, Pentti; Tossavainen, Timo (2021). "Fullständig additivitet, fullständig multiplikativitet och Leibniz-additivitet på rationaliteter" ( PDF) . Heltal . 21 .