p -avledning

Inom matematiken , mer specifikt differentialalgebra , är en p -derivation (för p ett primtal ) på en ring R , en mappning från R till R som uppfyller vissa villkor som beskrivs direkt nedan. Begreppet p -derivation är relaterat till begreppet en härledning i differentialalgebra.

Definition

Låt p vara ett primtal. En p -derivata eller Buium-derivata på en ring $R$ är en karta $\delta :R\to R$ som uppfyller följande " produktregel ":

\delta _{p}(ab)=\delta _ {p}(a)b^{p}+a^{p}\delta _{p}(b)+p\delta _{p}(a)\delta _{p}(b)

och "summaregel":

\delta _{p}(a+b)=\delta _{p}(a)+\delta _{p}(b)+{\frac {a^{p}+b^{p}-(a+b)^{p}}{p}}

,

såväl som

\delta _{p}(1)=0

.

Observera att i "summeregeln" dividerar vi egentligen inte med p , eftersom alla relevanta binomialkoefficienter i täljaren är delbara med p , så denna definition gäller i det fall då $R$ har p - torsion .

Relation till Frobenius Endomorphisms

En karta $\sigma :R\to R$ är ett lyft av Frobenius-endomorfismen förutsatt $\sigma (x)=x^{ p}{\pmod {pR}}$ . Ett exempel på ett sådant lyft kan komma från Artin-kartan .

Om $(R,\delta )$ är en ring med en p -derivation, då kartan $\sigma (x) :=x^{p}+p\delta (x)$ definierar en ringendomorfism som är ett lyft av Frobenius-endomorfismen. När ringen R är p - torsionsfri är överensstämmelsen en bijektion .