Linjärt utrymme (geometri)

Ett linjärt utrymme är en grundläggande struktur i infallsgeometrin . Ett linjärt utrymme består av en uppsättning element som kallas punkter och en uppsättning element som kallas linjer . Varje linje är en distinkt delmängd av punkterna. Punkterna i en linje sägs falla samman med linjen. Alla två linjer får inte ha mer än en punkt gemensam. Intuitivt kan denna regel visualiseras som egenskapen att två raka linjer aldrig skär varandra mer än en gång.

Linjära utrymmen kan ses som en generalisering av projektiva och affina plan , och mer allmänt, av 2- $(v,k,1)$ blockdesigner , där kravet att varje block innehåller samma antal punkter försvinner och den väsentliga strukturella egenskapen är att 2 punkter är infallande med exakt 1 linje.

Termen linjär rymd myntades av Paul Libois 1964, även om många resultat om linjära rymder är mycket äldre.

Definition

Låt L = ( P , G , I ) vara en infallsstruktur , för vilken elementen i P kallas punkter och elementen i G kallas linjer. L är ett linjärt rum om följande tre axiom gäller:

• (L1) två distinkta punkter faller samman med exakt en linje.
• (L2) varje linje faller mot minst två distinkta punkter.
• (L3) L innehåller minst två distinkta linjer.

Vissa författare släpper (L3) när de definierar linjära utrymmen. I en sådan situation anses de linjära utrymmena som följer (L3) som icke-triviala och de som inte gör det som triviala .

Exempel

Det vanliga euklidiska planet med sina punkter och linjer utgör ett linjärt rum, dessutom är alla affina och projektiva rum linjära rum också.

Tabellen nedan visar alla möjliga icke-triviala linjära rum med fem punkter. Eftersom två punkter alltid faller samman med en linje, dras inte linjerna som är infallande med endast två punkter enligt konvention. Det triviala fallet är helt enkelt en linje genom fem punkter.

I den första illustrationen är de tio linjerna som förbinder de tio punktparen inte ritade. I den andra illustrationen ritas inte sju linjer som förbinder sju par punkter.

10 rader	8 rader	6 rader	5 rader

Ett linjärt mellanrum med n punkter som innehåller en linje som faller in med n − 1 punkter kallas en nästan penna . (Se penna )

nära penna med 10 poäng

Egenskaper

De Bruijn–Erdős sats visar att i vilket ändligt linjärt rymd som helst $S=({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},{\textbf {I} })$ som inte är en enda punkt eller en enda linje, vi har $|{\mathcal {P}}|\leq |{\mathcal {L}}|$ .

Se även

• Blockdesign
• Fano plan
• Projektivt utrymme
• Affint utrymme
• Molekylär geometri
• Partiellt linjärt utrymme

•   Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines , Universitext, Springer, doi : 10.1007/978-3-642-15627-4 , ISBN 978-3-642-15626-7 .

•   Albrecht Beutelspacher : Einführung in die endliche Geometrie II . Bibliographisches Institut, 1983, ISBN 3-411-01648-5 , sid. 159 (tyska)
•   JH van Lint , RM Wilson : En kurs i kombinatorik . Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-42260-4 . sid. 188
• LM Batten, Albrecht Beutelspacher: Theory of Finite Linear Spaces . Cambridge University Press, Cambridge, 1992.