( G , X )-grenrör

Inom geometri , om X är ett mångfaldigt med en verkan av en topologisk grupp G genom analytiska diffeomorfismer, är föreställningen om en ( G , X )-struktur på ett topologiskt utrymme ett sätt att formalisera att det är lokalt isomorft till X med dess G - invariant struktur; utrymmen med en ( G , X )-struktur är alltid grenrör och kallas ( G , X )-grenrör . Detta begrepp används ofta med G som en Lie-grupp och X ett homogent utrymme för G . Grundläggande exempel är hyperboliska grenrör och affina grenrör .

Definition och exempel

Formell definition

Låt $X$ vara en ansluten differentialgren och $G$ vara en undergrupp av gruppen av diffeomorfismer av $X$ som fungerar analytiskt i följande mening:

om $g_{1},g_{2}\in G$ och det finns en icke-tom öppen delmängd $U\subset X$ så att ${ \displaystyle g_{1},g_{2}}$ är lika när de är begränsade till $U$ sedan $g_{1}=g_{2}$

(denna definition är inspirerad av den analytiska fortsättningsegenskapen hos analytiska diffeomorfismer på ett analytiskt grenrör ).

A $(G,X)$ -struktur på ett topologiskt utrymme $M$ är en mångfaldig struktur på $M$ vars atlasdiagram har värden i $X$ och övergångskartor tillhör $G$ . Det betyder att det finns:

• en täckning av $M$ av öppna mängder $U_{i},i\in I$ (dvs. $M=\bigcup _{ i\in I}U_{i}$ );
• öppna inbäddningar $\varphi _{i}:U_{i}\to X$ kallas diagram;

så att varje övergångskarta ${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi _{j}^ {-1}:\varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})} är begränsningen av en$ diffeomorfism i $G$ .

Två sådana strukturer $(U_{i},\varphi _{i}),(V_{j},\psi _{j})$ är ekvivalent när de ingår i en maximal etta, ekvivalent när deras förening också är en $(G,X)$ struktur (dvs kartorna $\varphi _{ i}\circ \psi _{j}^{-1}$ och $\psi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}$ är begränsningar för diffeomorfismer i $G$ ).

Riemannska exempel

Om $G$ är en Lie-grupp och $X$ en Riemann-manifold med en trogen verkan av $G$ av isometrier så är åtgärden analytisk. Vanligtvis tar man $G$ för att vara den fullständiga isometrigruppen av $X$ . Då är kategorin av $(G,X)$ grenrör ekvivalent med kategorin riemannska grenrör som är lokalt isometriska till $X$ (dvs varje punkt har en grannskap som är isometrisk till en öppen delmängd av $X$ ).

är exemplen på $X$ homogena under $G$ , till exempel kan man ta $X=G$ med en vänsterinvariant måttenhet. Ett särskilt enkelt exempel är $X=\mathbb {R} ^{n}$ och $G$ gruppen av euklidiska isometrier . Då är ett $(G,X)$ grenrör helt enkelt ett platt grenrör .

Ett särskilt intressant exempel är när $X$ är ett riemannskt symmetriskt utrymme , till exempel hyperboliskt utrymme . Det enklaste exemplet är det hyperboliska planet , vars isometrigrupp är isomorf till $G=\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {R} )$ .

Pseudo-riemannska exempel

När $X$ är Minkowski-rymden och $G$ Lorentz -gruppen är begreppet en $(G,X)$ -struktur densamma som för ett platt Lorentzian-grenrör .

Andra exempel

När $X$ är det affina rymden och $G$ gruppen av affina transformationer får man uppfattningen om ett affint mångfald .

När $X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )$ är det n-dimensionella reella projektiva rymden och $G=\mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbb {R} )$ får man föreställningen om en projektiv struktur.

Utveckla karta och fullständighet

Utveckla kartan

Låt $M$ vara ett $(G,X)$ -grenrör som är sammankopplat (som ett topologiskt rum). Den utvecklande kartan är en karta från det universella omslaget ${\tilde {M}}$ till $X$ som endast är väldefinierad fram till kompositionen av ett element av $G$ .

En utvecklingskarta definieras enligt följande: fixa $p\in {\tilde {M}}$ och låt $q\in {\tilde {M}}$ vara någon annan punkt, $\gamma$ en väg från $p$ till $q$ , och $\varphi :U\to X$ (där $U$ är en tillräckligt liten stadsdel av $p$ ) en karta som erhålls genom att komponera ett diagram av $M$ med projektionen ${\tilde {M}}\to M$ . Vi kan använda analytisk fortsättning längs $\gamma$ för att utöka $\varphi$ så att dess domän inkluderar $q$ . Eftersom ${\tilde {M}}$ helt enkelt är ansluten beror värdet på $\varphi (q)$ sålunda inte på det ursprungliga valet av $\gamma$ , och vi kallar den (väldefinierade) kartan $\varphi :{\tilde {M}}\to X$ en utvecklande karta för $(G, X)$ -struktur. Det beror på valet av baspunkt och diagram, men bara upp till komposition av ett element av $G$ .

Monodromi

Givet en utvecklande karta $\varphi$ , är monodromin eller holonomi för en $(G,X)$ -struktur den unika morfismen $h:\pi _{1}(M)\to G$ som uppfyller

$\forall \gamma \in \pi _{1}(M),p \in {\tilde {M}}:\varphi (\gamma \cdot p)=h(\gamma )\cdot \varphi (p)$ .

Det beror på valet av en utvecklingskarta men bara upp till en inre automorfism av $G$ .

Kompletta ( G , X )-strukturer

En $(G,X)$ struktur sägs vara komplett om den har en utvecklingskarta som också är en täckande karta (detta beror inte på valet av framkallningskarta eftersom de skiljer sig åt genom en diffeomorfism ). Till exempel, om $X$ helt enkelt är ansluten är strukturen komplett om och endast om den utvecklande kartan är en diffeomorfism.

Exempel

Riemannska ( G , X )-strukturer

Om $X$ är ett riemannskt grenrör och $G$ dess fullständiga grupp av isometri, då är en $(G,X)$ -struktur komplett om och endast om den underliggande Riemannska grenröret är geodesiskt komplett (motsvarande metriskt komplett). I synnerhet, i det här fallet, om det underliggande utrymmet för ett $(G,X)$ -förgreningsrör är kompakt så är det senare automatiskt komplett.

I fallet där $X$ är det hyperboliska planet är utvecklingskartan samma karta som ges av Uniformisation Theorem .

Andra fall

Generellt sett innebär inte utrymmets kompakthet att en $(G,X)$ -struktur är fullständig. Till exempel är en affin struktur på torus komplett om och bara om monodromikartan har sin bild inuti översättningarna . Men det finns många affina tori som inte uppfyller detta villkor, till exempel en fyrhörning med sina motsatta sidor limmade av en affin karta ger en affin struktur på torus, som är komplett om och bara om fyrhörningen är ett parallellogram.

Intressanta exempel på kompletta, icke-kompakta affina grenrör ges av Margulis spacetimes.

( G , X )-strukturer som kopplingar

Huvudartikel: Ehresmann-koppling

I arbetet av Charles Ehresmann $(G,X)$ ses -strukturer på ett grenrör ${\displaystyle M} som platta$ Ehresmann-anslutningar på fiberbuntar med fiber $X$ över $M$ , vars monodromikartor ligger i $G$ .

Anteckningar

• Thurston, William (1997). Tredimensionell geometri och topologi. Vol. 1 . Princeton University Press.