Affin monoid

I abstrakt algebra , en gren av matematiken , är en affin monoid en kommutativ monoid som genereras ändligt och är isomorf till en submonoid av en fri abelsk grupp $\mathbb {Z} ^{d}, d\geq 0$ . Affina monoider är nära förbundna med konvexa polyedrar , och deras associerade algebror är till stor nytta i den algebraiska studien av dessa geometriska objekt.

Karakterisering

Affina monoider genereras ändligt . Detta betyder för en monoid $M$ , det finns $m_{1},\dots ,m_{n}\in M$ så att

M=m_{1}\mathbb {Z_{+}} +\dots +m_{n}\mathbb {Z_{+}}

.

Affina monoider är cancellativa . Med andra ord,

x+y=x+z

innebär att

y=z

för alla

x,y, z\in M

, där

+

anger den binära operationen på den affina monoiden

M

.

Affina monoider är också vridningsfria . För en affin monoid ${\displaystyle M} innebär$ $nx=ny$ att $x=y$ för $}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N$ } , och $x,y\in M$ .
En delmängd $N$ av en monoid $M$ som själv är en monoid med avseende på operationen på $M$ är en submonoid av $M$ .

Egenskaper och exempel

Varje submonoid av $\mathbb {Z}$ genereras ändligt. Därför varje submonoid av $\mathbb {Z}$ affin.
Submonoiden $\{(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \mid y> 0\}\cup \{(0,0)\}$ av $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ genereras inte ändligt och därför inte affin.
Skärningspunkten mellan två affina monoider är en affin monoid.

Affina monoider

Grupp av skillnader

Om

M

är en affin monoid, kan den bäddas in i en grupp . Mer specifikt finns det en unik grupp

gp(M)

, kallad gruppen av skillnader , i vilken

M

kan bäddas in.

Definition

$gp(M)$ kan ses som uppsättningen av ekvivalensklasser $xy$ , där $xy=uv$ om och endast om $x+v+z=u+y+z$ , för $z\in M$ , och

$(xy)+(uv)=(x+u)-(y+v)$ definierar additionen.

Rangen för en affin monoid $M$ är rangordningen för en grupp av ${\displaystyle gp(M)$ p .
Om en affin monoid $M$ ges som en submonoid av $\mathbb {Z} ^{r}$ , då $gp(M)\cong \mathbb {Z} M$ , där $\mathbb {Z} M$ är undergruppen av $\mathbb {Z} ^{r}$ .

Universell egendom

Om $M$ är en affin monoid, då är monoidhomomorfismen $\iota :M\to gp(M)$ definierad av ${\ displaystyle \iota (x)=x+0}$ uppfyller följande universella egenskap :

för all monoid homomorfism

{\displaystyle \varphi :M\to G} ,

där

G

är en grupp, finns är en unik grupphomomorfism

\psi :gp(M)\to G

, så att

\varphi =\psi \circ \iota

, och eftersom affina monoider är cancellativa, följer det att

\iota

är en inbäddning. Med andra ord varje affin monoid bäddas in i en grupp.

Normala affina monoider

Definition

Om $M$ är en submonoid av en affin monoid $N$ , då är submonoiden

{\displaystyle {\hat {

är den integrerade stängningen av $M$ i $N$ . Om $M={\hat {M_{N}}}$ är $M$ integrerat stängd .

Normaliseringen av en affin monoid $M$ är den integrerade stängningen av $M$ i $\displaystyle gp(M)}$ { . Om normaliseringen av $M$ är $M$ själv, så är ${\displaystyle M} en$ normal affin monoid.
En monoid $M$ är en normal affin monoid om och endast om $\mathbb {R} _{+}M$ genereras ändligt och $M =\mathbb {Z} ^{r}\cap \mathbb {R} _{+}M$ .

Affina monoida ringar

se även: Gruppring

Definition

Låt $M$ vara en affin monoid och $R$ en kommutativ ring . Då kan man bilda den affina monoida ringen $R[M]$ . Detta är en $R$ -modul med en fri bas $M$ , så om $f\in R[M]$ , då

{\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}f_{i}x_{i}} , där

f

\displaystyle f_{i}\in R,x_{i}\in M}

, och

n\in \mathbb {N}

.

Med andra ord,

R[M]

är uppsättningen av ändliga summor av element i

M

med koefficienter i

R

.

Anslutning till konvex geometri

Affina monoider uppstår naturligt från konvexa polyedrar, konvexa koner och deras tillhörande diskreta strukturer.

Låt $C$ vara en rationell konvex kon i $\mathbb {R} ^{n}$ , och låt $L$ vara ett gitter i $\mathbb {Q } ^{n}$ . Då $C\cap L$ en affin monoid. (Lemma 2.9, Gordans lemma)
Om $M$ är en submonoid av $\mathbb {R} ^{n}$ , då är $\mathbb {R} _{+}M$ en kon om och endast om $M$ är en affin monoid.
Om $M$ är en submonoid av $\mathbb {R} ^{n}$ och $C$ är en kon som genereras av elementen i $gp(M)$ , då är $M\cap C$ en affin monoid.
Låt $P$ i $n}}$ { vara en rationell polyeder, $C$ recessionskonen för $P$ och $L$ ett gitter i $\mathbb {Q} ^{n}$ . Då $P\cap L$ en ändligt genererad modul över den affina monoiden $C\cap L$ . (Sat 2.12)

Se även

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009). Polytoper, ringar och K-teori . Monografier i matematik. Springer. ISBN 0-387-76356-2 .

[Gubeladze-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009). Polytoper, ringar och K-teori . Monografier i matematik. Springer. ISBN 0-387-76356-2 .