Abel förvandla

För summeringstransformation, se summering av delar .

Inom matematiken är Abeltransformen , uppkallad efter Niels Henrik Abel , en integraltransform som ofta används i analysen av sfäriskt symmetriska eller axiellt symmetriska funktioner. Abeltransformen av en funktion f ( r ) ges av

$F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\, dr.$

Om man antar att f ( r ) sjunker till noll snabbare än 1/ r , ges den inversa Abeltransformen av

$f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{ \sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.$

I bildanalys används den framåtriktade Abel-transformen för att projicera en optiskt tunn, axiellt symmetrisk emissionsfunktion på ett plan, och den inversa Abel-transformen används för att beräkna emissionsfunktionen givet en projektion (dvs en skanning eller ett fotografi) av den emissionen fungera.

Vid absorptionsspektroskopi av cylindriska lågor eller plymer är den främre Abel-transformen den integrerade absorbansen längs en stråle med närmaste avstånd y från lågans centrum, medan den inversa Abel-transformen ger den lokala absorptionskoefficienten på ett avstånd r från centrum. Abel-transform är begränsad till applikationer med axiellt symmetriska geometrier. För mer generella asymmetriska fall bör mer allmänt orienterade rekonstruktionsalgoritmer såsom algebraisk rekonstruktionsteknik (ART), maximum likelihood expectation maximization (MLEM), filtered back-projection (FBP) algoritmer användas.

Under de senaste åren har den omvända Abel-transformen (och dess varianter) blivit hörnstenen i dataanalys inom fotofragment-jonavbildning och fotoelektronavbildning . Bland de senaste mest anmärkningsvärda förlängningarna av invers Abel-transform är metoderna "lökskalning" och "basexpansion" (BASEX) för fotoelektron- och fotojonbildanalys.

Geometrisk tolkning

En geometrisk tolkning av Abels transformation i två dimensioner. En observatör (I) tittar längs en linje parallell med x -axeln ett avstånd y ovanför origo. Det som betraktaren ser är projektionen (dvs. integralen) av den cirkulärt symmetriska funktionen f ( r ) längs siktlinjen. Funktionen f ( r ) visas i grått i denna figur. Observatören antas vara placerad oändligt långt från origo så att integrationsgränserna är ±∞.

I två dimensioner kan Abeltransformen F ( y ) tolkas som projektionen av en cirkulärt symmetrisk funktion f ( r ) längs en uppsättning parallella siktlinjer på ett avstånd y från origo. Med hänvisning till figuren till höger kommer observatören (jag) att se

$F(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f\left({\sqrt {x ^{2}+y^{2}}}\right)\,dx,$

där f ( r ) är den cirkulärt symmetriska funktionen som representeras av den grå färgen i figuren. Det antas att observatören faktiskt befinner sig vid x = ∞, så att integrationsgränserna är ±∞, och alla siktlinjer är parallella med x -axeln. När man inser att radien r är relaterad till x och y som r ² = x ² + y ² , följer det att

$dx={\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}$

för x > 0. Eftersom f ( r ) är en jämn funktion i x , kan vi skriva

$F(y)=2\int _{0}^{\infty }f\left({\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}\right)\,dx=2\int _{|y|}^{\infty }f(r)\,{\frac {r\,dr}{\sqrt {r^{2} -y^{2}}}},$

vilket ger Abeltransformen av f ( r ).

Abels transformation kan utvidgas till högre dimensioner. Av särskilt intresse är utvidgningen till tre dimensioner. Om vi ​​har en axiellt symmetrisk funktion f ( ρ , z ), där ρ ² = x ² + y ² är den cylindriska radien, så vill vi kanske veta projektionen av den funktionen på ett plan parallellt med z - axeln. Utan förlust av generalitet kan vi ta det planet för att vara yz -planet, så att

$F(y,z)=\ int _{-\infty }^{\infty }f(\rho ,z)\,dx=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(\rho,z)\rho \, d\rho }{\sqrt {\rho ^{2}-y^{2}}}},$

som bara är Abeltransformen av f ( ρ , z ) i ρ och y .

En speciell typ av axiell symmetri är sfärisk symmetri. I det här fallet har vi en funktion f ( r ), där r ² = x ² + y ² + z ² . Projektionen på, säg, yz -planet kommer då att vara cirkulärt symmetriskt och kan uttryckas som F ( s ), där s ² = y ² + z ² . Att genomföra integrationen har vi

$F(s)=\int _{-\infty }^ {\infty }f(r)\,dx=2\int _{s}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-s^{ 2}}}},$

vilket återigen är Abeltransformen av f ( r ) i r och s .

Verifiering av den omvända Abeltransformen

Om vi ​​antar att $f$ är kontinuerligt differentierbar och $f$ , $f'$ sjunker till noll snabbare än $1/r$ , kan vi ställa in $u=f(r)$ och $v={\sqrt {r^{2}-y^{2}}}$ . Integrering av delar ger då efter

$F(y)=-2\int _{y}^{\infty }f'(r){\sqrt {r^{2}-y^{2}}}\,dr.$

Differentiera formellt ,

$F'(y)=2y\int _{y}^{\infty }{\frac {f'(r)}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}\ ,dr.$

Ersätt nu detta med den omvända Abeltransformformeln:

$-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {F'(y)}{\sqrt {y^{2}-r^{2 }}}}\,dy=\int _{r}^{\infty }\int _{y}^{\infty }{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2} -r^{2})(s^{2}-y^{2})}}}}f'(s)\,dsdy.$

Enligt Fubinis sats är den sista integralen lika med

$\int _{r}^{\infty }\int _{r}^{s}{\frac {-2y}{\pi {\sqrt {(y^{2}-r^{2} )(s^{2}-y^{2})}}}}\,dyf'(s)\,ds=\int _{r}^{\infty }(-1)f'(s)\ ,ds=f(r).$

Generalisering av Abeltransformen till diskontinuerlig F ( y )

Betrakta fallet där $F(y)$ är diskontinuerlig vid $y=y_{\Delta }$ , där den plötsligt ändrar sitt värde med en ändlig mängd $\Delta F$ . Det vill säga, $y_{\Delta }$ och $\Delta F$ definieras av $\Delta F\equiv \lim _{\epsilon \rightarrow 0}[F(y_{\Delta }-\epsilon )-F(y_{\Delta }+\epsilon )]$ . En sådan situation påträffas i tjudrade polymerer ( Polymer brush ) som uppvisar en vertikal fasseparation, där $F(y)$ står för polymerdensitetsprofilen och $f(r)$ är relaterad till den rumsliga fördelningen av terminala, icke-bundna monomerer av polymererna.

Abeltransformen av en funktion f ( r ) ges under dessa omständigheter återigen av:

$F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}} }.$

Om man antar att f ( r ) sjunker till noll snabbare än 1/ r , ges dock den inversa Abeltransformen av

$f(r)=\left[{\frac {1}{2}}\delta (r-y_{\Delta }){\sqrt {1-(y_{\Delta }/r)^{2 }}}-{\frac {1}{\pi }}{\frac {H(y_{\Delta }-r)}{\sqrt {y_{\Delta }^{2}-r^{2}} }}\right]\Delta F-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.$

där $\delta$ är Dirac delta-funktionen och $H(x)$ Heaviside -stegfunktionen . Den utökade versionen av Abeltransformen för diskontinuerlig F bevisas genom att applicera Abeltransformen på skiftad, kontinuerlig $F(y)$ , och den reduceras till den klassiska Abeltransformen när $\ Delta F=0$ . Om $F(y)$ har mer än en enda diskontinuitet, måste man införa skift för att någon av dem ska komma fram till en generaliserad version av den inversa Abeltransformen som innehåller ytterligare n termer, var och en av dem motsvarande en av de n diskontinuiteterna.

Förhållande till andra integrerade transformationer

Förhållande till Fourier- och Hankel-transformationerna

Abel-transformen är en medlem av FHA-cykeln av integrerade operatörer. Till exempel, i två dimensioner, om vi definierar A som Abel-transformoperatorn, F som Fourier-transformoperatorn och H som Hankel -transformoperatorn av nollte ordningen , så säger specialfallet med projektionssegmentsatsen för cirkulärt symmetriska funktioner att

$FA=H.$

Med andra ord, att tillämpa Abel-transformen på en 1-dimensionell funktion och sedan tillämpa Fourier-transformen på det resultatet är detsamma som att tillämpa Hankel-transformen på den funktionen. Detta koncept kan utvidgas till högre dimensioner.

Förhållande till radontransformeringen

Abeltransform kan ses som Radontransformen av en isotrop 2D-funktion f ( r ). Eftersom f ( r ) är isotrop är dess Radontransform densamma vid olika vinklar av betraktningsaxeln. Således är Abeltransformen enbart en funktion av avståndet längs betraktningsaxeln.

Se även

• GPS-radioockultation

•   Bracewell, R. (1965). Fouriertransformen och dess tillämpningar . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-007016-4 .