Algebraisk rekonstruktionsteknik

Animerad sekvens av rekonstruktionssteg, en iteration.

Den algebraiska rekonstruktionstekniken ( ART ) är en iterativ rekonstruktionsteknik som används i datortomografi . Den rekonstruerar en bild från en serie vinkelprojektioner (ett sinogram ). Gordon , Bender och Herman visade först dess användning i bildrekonstruktion; medan metoden är känd som Kaczmarz-metoden i numerisk linjär algebra.

En fördel med ART framför andra rekonstruktionsmetoder (som filtrerad bakprojektion ) är att det är relativt enkelt att införliva förkunskaper i rekonstruktionsprocessen.

ART kan betraktas som en iterativ lösare av ett system av linjära ekvationer $Ax=b$ , där:

A

är en gles

m\times n

matris vars värden representerar det relativa bidraget från varje utdatapixel till olika punkter i sinogrammet (

m

är antalet individuella värden i sinogrammet, och

n

är antalet utdatapixlar);

x

representerar pixlarna i den genererade (utdata) bilden, arrangerad som en vektor, och:

b

är en vektor som representerar sinogrammet. Varje projektion (rad) i sinogrammet består av ett antal diskreta värden, arrangerade längs den tvärgående axeln.

b

består av alla dessa värden, från var och en av de individuella projektionerna.

Givet en reell eller komplex matris ${\displaystyle A} respektive$ en reell eller komplex vektor $b$ , beräknar metoden en approximation av lösningen av de linjära ekvationssystemen som i följande formel,

x^{k+1}=x^{k}+\lambda _{k }{\frac {b_{i}-\langle a_{i},x^{k}\rangle }{\|a_{i}\|^{2}}}a_{i}^{T}

där $i=k{\bmod {m}}+1$ , $a_{i}$ är den i -te raden i matrisen $A$ , $b_{i}$ är den i -te komponenten av vektorn $b$ .

$\lambda _{k}$ är en valfri relaxationsparameter i intervallet $0<\lambda _{k}\leq 1$ . Relaxationsparametern används för att bromsa systemets konvergens. Detta ökar beräkningstiden, men kan förbättra signal-brusförhållandet för utgången. I vissa implementeringar reduceras värdet på ${\displaystyle \lambda _{k}} med varje successiv iteration.$

En vidareutveckling av ART-algoritmen är algoritmen för simultan algebraisk rekonstruktionsteknik ( SART).

^ Gordon, R; Bender, R; Herman, GT (december 1970). "Algebraisk rekonstruktionsteknik (ART) för tredimensionell elektronmikroskopi och röntgenfotografering". Journal of Theoretical Biology . 29 (3): 471–81. doi : 10.1016/0022-5193(70)90109-8 . PMID 5492997 .
^ Herman, Gabor T. (2009). Fundamentals of computerized tomography: bildrekonstruktion från projektioner (2nd ed.). Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-85233-617-2 .
^ Natterer, F. (1986). Datortomografins matematik . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 0-471-90959-9 .
^ ^a ^b Kak, Avinash; Slaney, Malcolm (1999). Principer för datoriserad tomografisk avbildning . New York: IEEE Press. s. 276 –277, 284. ISBN 978-0898714944 .

[ref3-1] Gordon, R; Bender, R; Herman, GT (december 1970). "Algebraisk rekonstruktionsteknik (ART) för tredimensionell elektronmikroskopi och röntgenfotografering". Journal of Theoretical Biology . 29 (3): 471–81. doi : 10.1016/0022-5193(70)90109-8 . PMID 5492997 .

[ref1-2] Herman, Gabor T. (2009). Fundamentals of computerized tomography: bildrekonstruktion från projektioner (2nd ed.). Dordrecht: Springer. ISBN 978-1-85233-617-2 .

[3] Natterer, F. (1986). Datortomografins matematik . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 0-471-90959-9 .

[ref4-4] Kak, Avinash; Slaney, Malcolm (1999). Principer för datoriserad tomografisk avbildning . New York: IEEE Press. s. 276 –277, 284. ISBN 978-0898714944 .