Summering efter delar

I matematik omvandlar summering av delar summeringen av produkter av sekvenser till andra summeringar, vilket ofta förenklar beräkningen eller (särskilt) uppskattningen av vissa typer av summor . Det kallas också Abels lemma eller Abels transformation , uppkallat efter Niels Henrik Abel som introducerade det 1826.

Påstående

Anta att $\{f_{k}\}$ och $\{g_{k}\}$ är två sekvenser . Sedan,

\sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n}g_{n+1}-f_{m }g_{m}\right)-\summa _{k=m+1}^{n}g_{k}(f_{k}-f_{k-1}).

Med hjälp av framåtdifferensoperatorn $\Delta$ kan det uttryckas mer kortfattat som

\sum _{k=m }^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\summa _{k=m} ^{n-1}g_{k+1}\Delta f_{k},

Summering av delar är en analog till integrering av delar :

\int f\,dg=fg-\int g\,df,

eller till Abels summeringsformel :

\sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m )g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.

Ett alternativt uttalande är

f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\summa _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\summa _{k =m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}

vilket är analogt med integrationen av delar-formeln för semimartingaler .

Även om tillämpningar nästan alltid handlar om konvergens av sekvenser, är påståendet rent algebraiskt och kommer att fungera inom alla områden . Det kommer också att fungera när en sekvens är i ett vektorrum och den andra är i det relevanta skalärområdet.

Newton-serien

Formeln ges ibland i någon av dessa – något annorlunda – former

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{ k}&=f_{0}\summa _{k=0}^{n}g_{k}+\summa _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j })\summa _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\summa _{k=0}^{n}g_{k}-\summa _{j =0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}

som representerar ett specialfall ( $M=1$ ) av den mer allmänna regeln

{\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^ {(i)}G_{i}^{(i+1)}+\summa _{j=0}^{nM}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M )}=\\&=\summa _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{ni}^{(i)}{\tilde {G}} _{ni}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\summa _{j=0}^{nM}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}

båda är resultatet av upprepad tillämpning av den initiala formeln. De extra kvantiteterna är Newton-serien :

f_{j}^{(M)}:=\summa _{k=0}^ {M}\left(-1\right)^{Mk}{M \choose k}f_{j+k}

och

G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j} ^{n}{k-j+M-1 \välj M-1}g_{k},

{\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{ k}.

Ett särskilt ( $M=n+1$ ) resultat är identiteten

\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i} ^{(i+1)}=\summa _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{ni}^{(i)}{\tilde {G}}_{ni} ^{(i+1)}.

Här är ${\textstyle {n \choose k}}$ den binomiala koefficienten .

Metod

För två givna sekvenser $(a_{n})$ och $(b_{n})$ , med $n\in \mathbb {N}$ , man vill studera summan av följande serier:

S_{N}=\summa _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}

Om vi definierar ${\textstyle B_{n}=\summa _{k=0}^{n}b_{k},}$ så för varje $n> 0,$ $b_{n}=B_{n}-B_{n-1}$ och

S_{N}=a_{0}b_{0}+\summa _{n=1}^{ N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),

S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\summa _{n=1}^{N-1}B_ {n}(a_{n}-a_{n+1}).

Slutligen ${\textstyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

Denna process, som kallas en Abel-transformation, kan användas för att bevisa flera kriterier för konvergens för $S_{N}$ .

Likhet med en integrering av delar

Formeln för en integration med delar är ${\textstil \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\ int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$ .

Förutom randvillkoren lägger vi märke till att den första integralen innehåller två multiplicerade funktioner, en som är integrerad i den slutliga integralen ( $g'$ blir ${\displaystyle g})$ och en som är differentierad ( ${\ displaystyle f}$ blir ${\displaystyle f'} )$ .

Processen för Abel-transformationen är liknande, eftersom en av de två initiala sekvenserna summeras ( $b_{n}$ blir ${\displaystyle B_{n}} )$ och den andra är differentierad ( $a_{n}$ blir ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}} )$ .

Ansökningar

Det används för att bevisa Kroneckers lemma , som i sin tur används för att bevisa en version av den starka lagen om stora tal under variansbegränsningar .
Det kan användas för att bevisa Nicomachus' teorem att summan av de första $n$ kuberna är lika med kvadraten på summan av de första $n$ positiva heltalen.
Summering av delar används ofta för att bevisa Abels sats och Dirichlets test .
Man kan också använda denna teknik för att bevisa Abels test : Om ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ är en konvergent serie , och $a_{n}$ en avgränsad monoton sekvens , då ${\textstil S_{N}=\summa _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}} konvergerar$ .

Bevis på Abels test. Summering av delar ger

{\begin{aligned}S_{M}-S_{N}& =a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\summa _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}) \\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\summa _{n=N }^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}

där a är gränsen för

a_{n}

. Eftersom

{\textstyle \sum _{n}b_{n}}

är konvergent, begränsas

B_{N}

oberoende av

N

, säg av

B

. Som

a_{n}-a

går till noll, så gå till de två första termerna. Den tredje termen går till noll med Cauchy-kriteriet för

{\textstyle \sum _{n}b_{n}}

. Den återstående summan begränsas av

\sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M -1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|

genom monotoniteten hos

a_{n}

, och går även till noll som

N\to \infty

.

Med samma bevis som ovan kan man visa att if

delsummorna $B_{N}$ bildar en avgränsad sekvens oberoende av $N$ ;
${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty } (så att$ summan $\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|$ går till noll när $N$ går till oändlighet )
$\lim a_{n}=0$

då konvergerar ${\textstil S_{N}=\summa _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}.$

I båda fallen uppfyller summan av serien:

|S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty } |a_{n+1}-a_{n}|.

Summations-för-delar-operatorer för ändliga skillnadsmetoder med hög ordning

En summation-by-parts (SBP) ändlig skillnadsoperator består konventionellt av ett inre schema för centrerad skillnad och specifika gränsstenciler som efterliknar beteendet hos motsvarande integrerings-för-delar-formulering. Gränsvillkoren åläggs vanligtvis av tekniken Simultaneous Approximation-Term (SAT). Kombinationen av SBP-SAT är ett kraftfullt ramverk för gränsbehandling. Metoden är att föredra för väl beprövad stabilitet för långtidssimulering och hög noggrannhet.

Se även

Bibliografi

Abel, Neils Henrik (1826). "Untersuchungen über die Reihe $1+ {\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\ cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots$ usw". J. Reine Angew. Matematik. 1 :311-339.