Zolotarev polynom

Inom matematiken är Zolotarev-polynom polynom som används i approximationsteorin . De används ibland som ett alternativ till Chebyshev-polynomen där approximationens noggrannhet nära ursprunget är av mindre betydelse. Zolotarev-polynom skiljer sig från Chebyshev-polynomen genom att två av koefficienterna är fixerade i förväg snarare än att de får anta vilket värde som helst. Chebyshev-polynomen av det första slaget är ett specialfall av Zolotarev-polynom. Dessa polynom introducerades av den ryske matematikern Yegor Ivanovich Zolotarev 1868.

Definition och egenskaper

Zolotarev polynom av grad $n$ i $x$ har formen

$Z_{n}(x,\sigma )=x^{n}-\sigma x^{n-1}+\cdots +a_{k}x^{k}+\cdots +a_{0}\ ,$

där $\sigma$ är ett föreskrivet värde för $a_{n-1}$ och a $\displaystyle a_{k}\in \mathbb {R} }$ är annars vald så att avvikelsen för $Z_{n}(x)$ från noll är minimum i intervallet $[-1,1]$ .

En delmängd av Zolotarev-polynom kan uttryckas i termer av Chebyshev-polynom av det första slaget, $T_{n}(x)$ . För

$0\leq \sigma \leq {\dfrac {1}{n}}\tan ^{2}{\dfrac {\pi }{2n}}$

sedan

$Z_{n}(x,\sigma )=(1+\sigma )^{n}T_{n}\left({\frac {x-\sigma }{1+\sigma }}\right) \ .$

För värden på $\sigma$ större än maximivärdet för detta intervall, kan Zolotarev-polynom uttryckas i termer av elliptiska funktioner . För $\sigma =0$ är Zolotarev-polynomet identiskt med det ekvivalenta Chebyshev-polynomet. För negativa värden på $\sigma$ , kan polynomet hittas från polynomet för det positiva värdet,

$Z_{n}(x,-\sigma )=(-1)^{n}Z_{n}(-x,\sigma )\ .$

Zolotarev-polynomet kan expanderas till en summa av Chebyshev-polynom med hjälp av relationen

$Z_{n}(x)=\summa _{k=0}^{n}a_{k}T_{k}(x)\ .$

Zolotarev polynom av 8:e graden (vänster) och 9:e graden (höger). X - skalan är markerad som prototypfrekvens , vilket skulle göras när man använder polynomet i en filterdesign.

När det gäller Jacobi elliptiska funktioner

Den ursprungliga lösningen på approximationsproblemet som ges av Zolotarev var i termer av Jacobi elliptiska funktioner . Zolotarev gav den allmänna lösningen där antalet nollor till vänster om toppvärdet ( $q$ ) i intervallet $[-1,1]$ inte är lika med talet av nollor till höger om denna topp ( $p$ ). Graden av polynomet är $n=p+q$ . För många applikationer används ${\displaystyle p=q} och då behöver endast$$n$ beaktas. De allmänna Zolotarev-polynomen definieras som

$Z_{n}(x|\kappa )={\frac {(-1)^{p}}{2}}\left[\left({\dfrac {H(uv)}{H(u+v) }}\right)^{n}+\left({\dfrac {H(u+v)}{H(uv)}}\right)^{n}\right]$

där

$u=F\left(\left.\operatörsnamn {sn} \left(\left.v\right| \kappa \right){\sqrt {\dfrac {1+x}{x+2\operatörsnamn {sn} ^{2}\left(\left.v\right|\kappa \right)-1}}}\ höger|\kappa \right)$

$v={\dfrac {p}{n}}K(\kappa )$

$H(\varphi )$ är Jacobi eta-funktionen

$F(\varphi |\kappa )$ är den ofullständiga elliptiska integralen av det första slaget

$K(\kappa )$ är kvartsvågen komplett elliptisk integral av det första slaget . Det vill säga $K(\kappa )=F\left(\left.{\frac {\pi }{2}}\right|\kappa \right)$

$\kappa$ är Jacobis elliptiska modul

$\operatorname {sn} (\varphi |\kappa )$ är Jacobis elliptiska sinus .

Variationen av funktionen inom intervallet [−1,1] är equiripple förutom en topp som är större än resten. Positionen och bredden på denna topp kan ställas in oberoende. Toppens läge ges av

${\displaystyle x_{\text {max}}=1-2\operatörsnamn {sn} ^{2}(v|\kappa )+2{\dfrac {\operatörsnamn {sn} (v|\kappa )\operatörsnamn {cn} (v|\kappa )}{\operatörsnamn {dn} (v|\kappa )}}Z(v|\kappa )} där$

cn

$\displaystyle \operatorname {cn} (\varphi |\kappa )}$ är Jacobi elliptisk cosinus

$\operatorname {dn} (\varphi |\kappa )$ är Jacobi delta amplitud

$Z(\varphi |\kappa )$ är Jacobi zeta-funktionen

$v$ är enligt definitionen ovan.

Toppens höjd ges av

$Z_{n}(x_{\text{max}}| \kappa )=\cosh 2n{\bigl (}\sigma _{\text{max}}Z(v|\kappa )-\varPi (\sigma _{\text{max}},v|\kappa ){ \bigr )}$

där

$\varPi (\phi _{1},\phi _{2}|\kappa )$ är den ofullständiga elliptiska integralen av det tredje slaget

${\displaystyle \sigma _{\text{max}}=F\left(\ vänster.\sin ^{-1}\left({\dfrac {1}{\kappa \operatörsnamn {sn} (v|\kappa )}}{\sqrt {\dfrac {x_{\text{max}}- x_{\mathrm {L} }}{x_{\text{max}}+1}}}\right)\right|\kappa \right)} x L {\displaystyle x_{\mathrm {L$

$}$ är positionen på toppens vänstra lem som är samma höjd som ekvirippletopparna.

Jacobi eta funktion

Jacobi eta-funktionen kan definieras i termer av en Jacobi hjälp-theta-funktion ,

$H(\varphi |\kappa )=\theta _{1}(a|b)$

där

$a={\frac {\pi \varphi }{2K'(\kappa )}}$

$b=\exp \left (-{\frac {\pi K'(\kappa)}{K(\kappa)}}\right)$

$K'(\kappa )=K({\sqrt {1-\kappa ^{2}}})\ .$

Ansökningar

Polynomen introducerades av Yegor Ivanovich Zolotarev 1868 som ett sätt att enhetligt approximera polynom av grad $x^{n+1}$ på intervallet [−1,1]. Pafnuty Chebyshev hade visat 1858 att $x^{n+1}$ kunde approximeras i detta intervall med ett polynom av grad som högst $n$ med ett fel på ${\ displaystyle 2^{-n}}$ . 1868 visade Zolotarev att $x^{n+1}-\sigma x^{n}$ kunde approximeras med ett polynom av grad som högst $n -1$ , två grader lägre. Felet i Zolotarevs metod ges av,

$2^{-n}\left({\dfrac {1+\sigma }{1+n}}\right)^{n+1}\ .$

Förfarandet utvecklades ytterligare av Naum Achieser 1956.

Zolotarev-polynom används i utformningen av Achieser-Zolotarev-filter . De användes först i denna roll 1970 av Ralph Levy i designen av mikrovågsvågledarfilter . Achieser-Zolotarev-filter liknar Chebyshev-filter genom att de har en lika stor rippeldämpning genom passbandet , förutom att dämpningen överstiger den förinställda rippeln för toppen närmast origo.

Zolotarev-polynom kan användas för att syntetisera strålningsmönstren för linjära antennuppsättningar , som först föreslogs av DA McNamara 1985. Arbetet var baserat på filterapplikationen med strålvinkel som användes som variabel istället för frekvens. Zolotarevs strålmönster har sidolober på samma nivå.

Bibliografi

•   Achieser, Naum , Hymnan, CJ (trans), Theory of Approximation , New York: Frederick Ungar Publishing, 1956. Dover reprint 2013 ISBN 0486495434 .
•   Beebe, Nelson HF, The Mathematical-Function Computation Handbook , Springer, 2017 ISBN 978-3-319-64110-2 .
•   Cameron, Richard J.; Kudsia, Chandra M.; Mansour, Raafat R., Mikrovågsfilter för kommunikationssystem , John Wiley & Sons, 2018 ISBN 1118274342 .
•   Hansen, Robert C., Phased Array Antennas , Wiley, 2009 ISBN 0470529172 .
• McNamara, DA, "Optimal monopuls linjär array-excitationer med användning av Zolotarev Polynomials", Electron , vol. 21, iss. 16, s. 681–682, augusti 1985.
• Newman, DJ, Reddy, AR, "Rational approximations to $x^{n}$ II" , Canadian Journal of Mathematics , vol. 32, nr. 2, s. 310–316, april 1980.
•   Pinkus, Allan, "Zolotarev polynomials", i, Hazewinkel, Michiel (red), Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III , Springer Science & Business Media, 2001 ISBN 1402001983 .
• Vlček, Miroslav, Unbehauen, Rolf, "Zolotarev-polynom och optimala FIR-filter", IEEE Transactions on Signal Processing , vol. 47 , iss. 3, s. 717–730, mars 1999 ( rättningar juli 2000).
•   Zahradnik, Pavel; Vlček, Miroslav, "Analytisk design av 2-D smala bandstopp FIR-filter", s. 56–63 i, Computational Science — ICCS 2004: Proceedings of the 4th International Conference , Bubak, Marian; van Albada, Geert D.; Sloot, Peter MA; Dongarra, Jack (red), Springer Science & Business Media, 2004 ISBN 3540221298 .