Prototypfilter

Prototypfilter är elektroniska filterdesigner som används som en mall för att producera en modifierad filterdesign för en viss applikation. De är ett exempel på en icke-dimensionaliserad design från vilken det önskade filtret kan skalas eller transformeras . De ses oftast med avseende på elektroniska filter och speciellt linjära analoga passiva filter . Metoden kan dock i princip tillämpas på alla slags linjära filter eller signalbehandlingar , inklusive mekaniska, akustiska och optiska filter.

Filter krävs för att fungera vid många olika frekvenser , impedanser och bandbredder . Användbarheten av ett prototypfilter kommer från egenskapen att alla dessa andra filter kan härledas från det genom att tillämpa en skalningsfaktor på komponenterna i prototypen. Filterkonstruktionen behöver alltså endast utföras en gång i sin helhet, medan andra filter erhålls genom att helt enkelt tillämpa en skalningsfaktor.

Särskilt användbar är möjligheten att transformera från en bandform till en annan. I det här fallet är transformationen mer än en enkel skalfaktor. Bandform är här menat att indikera vilken passbandskategori som filtret har. De vanliga bandformerna är lågpass , högpass , bandpass och bandstopp , men andra är möjliga. I synnerhet är det möjligt för ett filter att ha flera passband. I vissa behandlingar anses faktiskt bandstoppfiltret vara en typ av multipelpassbandsfilter med två passband. Vanligast är att prototypfiltret uttrycks som ett lågpassfilter, men andra tekniker är möjliga.

Ett lågpassprototyp konstant k Π (pi) filter

Delar av denna artikel eller avsnitt förlitar sig på läsarens kunskap om den komplexa impedansrepresentationen av kondensatorer och induktorer och på kunskap om frekvensdomänrepresentationen av signaler .

Lågpass prototyp

Prototypen är oftast ett lågpassfilter med 3 dB hörnfrekvens med vinkelfrekvens ω _c ′ = 1 rad/s . Ibland används frekvensen f ′ = 1 Hz istället för ω _c ′ = 1. På samma sätt sätts filtrets nominella eller karakteristiska impedans till R ′ = 1 Ω.

I princip kan vilken frekvenspunkt som helst på filterresponsen som inte är noll användas som referens för prototypdesignen. Till exempel, för filter med rippel i passbandet, definieras hörnfrekvensen vanligtvis som den högsta frekvensen vid maximal rippel snarare än 3 dB. Ett annat fall är bildparameterfilter (en äldre designmetod än de modernare nätverkssyntesfiltren ) som använder gränsfrekvensen snarare än 3 dB-punkten eftersom gränsen är en väldefinierad punkt i denna typ av filter.

Prototypfiltret kan endast användas för att producera andra filter av samma klass och ordning. Till exempel kan en femte ordningens Bessel-filterprototyp konverteras till vilket annat femte ordningens Bessel-filter som helst, men det kan inte omvandlas till ett tredje ordningens Bessel-filter eller ett femte ordningens Chebyshev-filter .

Frekvensskalning

Prototypfiltret skalas till den frekvens som krävs med följande transformation:

$i\omega \to \left({\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}} }}\right)i\omega$

där ω _c ′ är värdet på frekvensparametern (t.ex. gränsfrekvens) för prototypen och ω _c är det önskade värdet. Så om ω _c ′ = 1 så transformeras filtrets överföringsfunktion som:

$A(i\omega )\to A\left(i{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\ höger)$

Det kan lätt ses att för att uppnå detta måste de icke-resistiva komponenterna i filtret transformeras genom:

${\displaystyle L\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,L} och$ , $C\to {\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\,C$

Impedansskalning

Impedansskalning är alltid en skalning till ett fast motstånd. Detta beror på att filtrets avslutningar, åtminstone nominellt, anses vara ett fast motstånd. För att utföra denna skalning till en nominell impedans R , transformeras varje impedanselement i filtret av:

$Z\to {\frac {R}{R'}}\,Z$

Det kan vara bekvämare för vissa element att skala tillträdet istället:

$Y\to {\frac {R'}{R}}\,Y$

Prototypfiltret ovan, omvandlat till ett 600 Ω, 16 kHz lågpassfilter

Det kan lätt ses att för att uppnå detta måste de icke-resistiva komponenterna i filtret skalas som:

$L\to {\frac {R}{R'}}\,L$ and, $C\to {\frac {R'}{R }}\,C$

Impedansskalning i sig har ingen effekt på filtrets överföringsfunktion (förutsatt att de avslutande impedanserna har samma skalning tillämpad på dem). Det är dock vanligt att kombinera frekvens- och impedansskalningen i ett enda steg:

$L\to \,{\frac {\omega _{\text{c}}'}{\omega _{\text{c}}}}\, {\frac {R}{R'}}\,L$ och, $C\to \,{\frac {\omega _{\text{c}} '}{\omega _{\text{c}}}}\,{\frac {R'}{R}}\,C$

Bandform transformation

I allmänhet transformeras bandformen för ett filter genom att ersätta iω där det förekommer i överföringsfunktionen med en funktion av iω . Detta leder i sin tur till omvandlingen av filtrets impedanskomponenter till någon annan komponent(er). Frekvensskalningen ovan är ett trivialt fall av bandformstransformation motsvarande en lågpass till lågpasstransformation.

Lågpass till högpass

Frekvensomvandlingen som krävs i detta fall är:

${\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\till {\frac {\omega _{\text{c} }}{i\omega }}$

där ω _c är den punkt på högpassfiltret som motsvarar ω _c ′ på prototypen. Överföringsfunktionen transformeras sedan som:

$A(i\omega )\to A\left({\frac {\omega _{\text{c}}\,\omega _ {\text{c}}'}{i\omega }}\right)$

Induktorer omvandlas till kondensatorer enligt,

$L'\to C={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c} }'\,L'}}$

och kondensatorer omvandlas till induktorer,

$C'\to L={\frac {1}{\omega _{\text{c}}\,\omega _{\text{c} }'\,C'}}$

de primerade kvantiteterna är komponentvärdet i prototypen.

Lågpass till bandpass

I det här fallet är den nödvändiga frekvensomvandlingen:

${\frac {i\omega }{\omega _{\text{c}}'}}\till Q\vänster({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

där Q är Q-faktorn och är lika med inversen av bråkbandbredden:

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}$

Om ω ₁ och ω ₂ är de nedre och övre frekvenspunkterna (respektive) för bandpasssvaret som motsvarar ω _c ′ för prototypen, då,

$\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}\,$ och $\omega _{0}={ \sqrt {\omega _{1}\omega _{2}}}$

₀ A ω är den absoluta bandbredden och ω är resonansfrekvensen för resonatorerna i filtret. Observera att frekvensskalning av prototypen före lågpass till bandpasstransformation inte påverkar resonansfrekvensen, utan påverkar istället filtrets slutliga bandbredd.

Filtrets överföringsfunktion omvandlas enligt:

$A(i\omega )\to A\left(\omega _{\text{c}}'Q\ vänster[{\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right]\right)$

Prototypfiltret ovan, omvandlat till ett 50 Ω, 6 MHz bandpassfilter med 100 kHz bandbredd

Induktorer omvandlas till serieresonatorer ,

$L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'Q} {\omega _{0}}}L'\,,\,C={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1 }{L'}}$

och kondensatorer omvandlas till parallella resonatorer,

$C'\to C={\frac {\omega _{c}'Q}{\omega _ {0}}}C'\,\lVert \,L={\frac {1}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'Q}}{\frac {1}{C '}}$

Lågpass till bandstopp

Den erforderliga frekvensomvandlingen för lågpass till bandstopp är:

${\frac {\omega _{\text{c}}'}{i\omega }}\to Q\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\dfrac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)$

Induktorer omvandlas till parallella resonatorer,

$L'\to L={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\ omega _{0}Q}}L'\,\lVert \,C={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1} {L'}}$

och kondensatorer omvandlas till serieresonatorer,

$C'\to C={\frac {\omega _{\text{c}}'}{\ omega _{0}Q}}C'\,,\,L={\frac {Q}{\omega _{0}\omega _{\text{c}}'}}{\frac {1}{ C'}}$

Lågpass till multiband

Filter med flera passband kan erhållas genom att tillämpa den allmänna transformationen:

${\frac {\omega _{\text {c}}'}{i\omega }}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac { \omega _{01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}} +{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Antalet resonatorer i uttrycket motsvarar antalet passband som krävs. Lågpass- och högpassfilter kan ses som speciella fall av resonatoruttrycket där den ena eller den andra av termerna blir noll efter lämplighet. Bandstoppfilter kan ses som en kombination av ett lågpass- och ett högpassfilter. Flera bandstoppfilter kan alltid uttryckas i termer av ett multipelbandpassfilter. På detta sätt kan man se att denna transformation representerar det allmänna fallet för vilken bandform som helst, och alla andra transformationer ska ses som speciella fall av den.

Samma svar kan på motsvarande sätt erhållas, ibland med en mer bekväm komponenttopologi, genom att transformera till multipla stoppband istället för multipla passband. Den nödvändiga omvandlingen i dessa fall är:

${\frac {i\omega }{\ omega _{c}'}}\to {\dfrac {1}{Q_{1}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{01}}}+{\dfrac {\omega _{ 01}}{i\omega }}\right)}}+{\dfrac {1}{Q_{2}\left({\dfrac {i\omega }{\omega _{02}}}+{\dfrac {\omega _{02}}{i\omega }}\right)}}+\cdots$

Alternativ prototyp

I sin behandling av bildfilter gav Zobel en alternativ grund för att konstruera en prototyp som inte är baserad i frekvensdomänen . Zobel-prototyperna motsvarar därför inte någon speciell bandform, men de kan omvandlas till vilken som helst av dem. Att inte ge någon särskild betydelse åt någon bandform gör metoden mer matematiskt tilltalande; det är dock inte i vanligt bruk.

Zobel-prototypen tar hänsyn till filtersektioner snarare än komponenter. Det vill säga transformationen utförs på ett två-portsnätverk snarare än en tvåterminals induktor eller kondensator. Överföringsfunktionen uttrycks i termer av produkten av serieimpedansen Z , och shuntadmittansen Y för en filterhalvsektion. Se artikeln Bildimpedans för en beskrivning av halvsektioner. Denna kvantitet är icke-dimensionell , vilket bidrar till prototypens generella karaktär. Generellt sett är ZY en komplex storhet,

$ZY=U+iV\,\!$ och eftersom U och V i allmänhet båda är funktioner för ω borde vi korrekt skriva,

$ZY=U(\omega )+iV(\omega )$

Med bildfilter är det möjligt att erhålla filter av olika klasser från konstant k- filterprototypen med hjälp av en annan typ av transformation (se sammansatt bildfilter ), konstant k är de filter för vilka Z/Y är en konstant. Av denna anledning ges filter för alla klasser i termer av U(ω) för en konstant k, som noteras som,

$ZY=U_{k}(\omega )+iV_{k}(\omega )$

I fallet med dissipationslösa nätverk, dvs inga motstånd, är kvantiteten V ( ω ) noll och endast U ( ω ) behöver beaktas. U _k ( ω ) sträcker sig från 0 i mitten av passbandet till −1 vid gränsfrekvensen och fortsätter sedan att öka negativt in i stoppbandet oavsett bandformen för filtret som konstrueras. För att erhålla den erforderliga bandformen används följande transformationer:

För en lågpasskonstant k- prototyp som är skalad:

$R_{0}=1\,,\,\omega _{\text{c}}=1$

den oberoende variabeln för svarsdiagrammet är,

$U_{k}(\omega )=-\omega ^{2}\,\!$

Bandformstransformationerna från denna prototyp är,

för lågpass, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {i\omega }{\omega _{\text{c} }}}\right)^{2}$

för högpass, $U_{k}(\omega )\to \left({\frac {\omega _{\text{c}}}{i\ omega }}\right)^{2}$

och för bandpass, $U_{k}(\omega )\to Q^{2}\left({\frac {i\omega }{\omega _{0}}}+{\frac {\omega _{0}}{i\omega }}\right)^{2}$

Se även

• Elektronisk filtertopologi
• Elektroniskt filter
• Linjärt filter
• Sammansatt bildfilter

Filterbandformer : se, lågpass , högpass , bandpass , bandstopp .

Bibliografi

• Zobel, OJ, "Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters", Bell System Technical Journal , vol.2 (1923), s. 1–46.
• Zobel, OJ, "Electrical wave filters", US patent 1 850 146, inlämnat 25 nov 1930, utfärdat 22 mars 1932. Ger många användbara formler och en icke-frekvensdomänbas för att definiera prototyper.
• Matthaei, Young, Jones mikrovågsfilter, impedansmatchande nätverk och kopplingsstrukturer McGraw-Hill 1964.
• Farago, PS, An Introduction to Linear Network Analysis , English Universities Press, 1961.