Jacobi zeta funktion

I matematik är Jacobi zeta-funktionen Z ( u ) den logaritmiska derivatan av Jacobi theta-funktionen Θ(u). Det betecknas också vanligtvis som $zn(u,k)$

$\Theta (u)=\Theta _{4}\left({\frac {\pi u}{2K}}\right)$

$Z(u)={\frac {\partial }{\partial u}}\ln \Theta (u)$$={\frac {\Theta '(u)}{\Theta (u)}}$

${\displaystyle Z(\phi |m)=E(\phi |m)-{\frac {E(m)}{K(m)}}F(\phi |m)} Där E, K$

, och F är generiska ofullständiga elliptiska integraler av det första och andra slaget. Jacobi Zeta-funktioner är typer av Jacobi theta-funktioner har applikationer för alla sina relevanta områden och applikationer.

$zn(u,k)=Z(u)=\int _{0}^{u}dn ^{2}v-{\frac {E}{K}}dv$

Detta relaterar Jacobis vanliga notation av, $dn{u}={\sqrt {1- m\sin {\theta }^{2}}}$ , $snu=\sin {\theta }$ , $cnu=\cos { \theta }$ . till Jacobis Zeta-funktion.

Några ytterligare relationer inkluderar ,

$zn(u,k)= {\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{1}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{1}{\frac {\pi u} {2K}}}}-{\frac {cn{u}*dn{u}}{sn{u}}}$

$zn(u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{2}'{\frac { \pi u}{2K}}}{\Theta _{2}{\frac {\pi u}{2K}}}}-{\frac {sn{u}*dn{u}}{cn{u} }}$

$zn(u,k)= {\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{3}'{\frac {\pi u}{2K}}}{\Theta _{3}{\frac {\pi u} {2K}}}}-k^{2}{\frac {sn{u}*cn{u}}{dn{u}}}$

$zn(u,k)={\frac {\pi }{2K}}{\frac {\Theta _{4}'{\frac {\pi u}{2K }}}{\Theta _{4}{\frac {\pi u}{2K}}}}$

• https://booksite.elsevier.com/samplechapters/9780123736376/Sample_Chapters/01~Front_Matter.pdf Pg.xxxiv
•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 16" . Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. sid. 578. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
• http://mathworld.wolfram.com/JacobiZetaFunction.html