Yff centrum för kongruens
I geometri är Yff -centrum för kongruens en speciell punkt associerad med en triangel. Denna speciella punkt är ett triangelcentrum och Peter Yff initierade studiet av detta triangelcentrum 1987.
Isoscelizer
En isoscelizer av en vinkel A i en triangel ABC är en linje genom punkterna P 1 och Q 1 , där P 1 ligger på AB och Q 1 på AC , så att triangeln AP 1 Q 1 är en likbent triangel . En isoscelizer av vinkel A är en linje vinkelrät mot bisektrisen av vinkel A . Isoscelizers uppfanns av Peter Yff 1963.
Yff central triangel
Låt ABC vara vilken triangel som helst. Låt P 1 Q 1 vara en isoscelizer av vinkel A , P 2 Q 2 vara en isoscelizer av vinkel B och P 3 Q 3 vara en isoscelizer av vinkel C . Låt A'B'C' vara triangeln som bildas av de tre isoscelizers. De fyra trianglarna A'P 2 Q 3 , Q 1 B'P 3 , P 1 Q 2 C' och A'B'C' är alltid lika .
Det finns en unik uppsättning av tre isoscelizers P 1 Q 1 , P 2 Q 2 , P 3 Q 3 så att de fyra trianglarna A ' P 2 Q 3 , Q 1 B ' P 3 , P 1 Q 2 C' och A 'B'C' är kongruenta . I detta speciella fall kallas triangeln A'B'C' som bildas av de tre isoscelizersna Yff centrala triangeln av triangeln ABC .
Den omslutna cirkeln av Yff-centraltriangeln kallas Yff-centralcirkeln i triangeln.
Yff centrum för kongruens
Låt ABC vara vilken triangel som helst. Låt P 1 Q 1 , P 2 Q 2 , P 3 Q 3 vara isoscelizers för vinklarna A , B , C så att triangeln A'B'C' som bildas av dem är Yff centraltriangeln i triangeln ABC . De tre isoscelizers P 1 Q 1 , P 2 Q 2 , P 3 Q 3 är kontinuerligt parallellförskjutna så att de tre trianglarna A'P 2 Q 3 , Q 1 B'P 3 , P 1 Q 2 C' alltid är kongruenta med varandra tills triangeln A'B'C' som bildas av skärningspunkterna mellan de isoscelizers reduceras till en punkt. Punkten till vilken triangeln A'B'C' reduceras till kallas Yff kongruenscentrum för triangeln ABC .
Egenskaper
- De trilinjära koordinaterna för Yff-kongruenscentrum är (sek( A /2):sek( B /2),sek( C /2).
- Vilken triangel ABC som helst är den triangel som bildas av linjerna som externt tangerar de tre cirklarna i Yffs centrala triangel av triangeln ABC .
- Låt mig vara mitten av triangeln ABC . Låt D vara punkten på sidan BC så att ∠ BID = ∠ DIC , E en punkt på sidan CA så att ∠ CIE = ∠ EIA , och F en punkt på sidan AB så att ∠ AIF = ∠ FIB . Sedan raderna AD . BE och CF är samtidiga vid Yff-centrum för kongruens. Detta faktum ger en geometrisk konstruktion för att lokalisera Yff-centrum för kongruens.
- En datorstödd sökning av egenskaperna hos Yff-centraltriangeln har genererat flera intressanta resultat som rör egenskaperna hos Yff-centraltriangeln.
Generalisering
Den geometriska konstruktionen för att lokalisera Yff-centrum för kongruens har en intressant generalisering. Generaliseringen börjar med en godtycklig punkt P i planet för en triangel ABC . Därefter tas punkterna D , E , F på sidorna BC , CA , AB så att ∠ BPD = ∠ DPC , ∠ CPE = ∠ EPA och ∠ APF = ∠ FPB . Generaliseringen hävdar att linjerna AD , BE , CF är samtidiga.