Kongruent isoscelizers punkt

I geometrin är den kongruenta isoscelizers-punkten en speciell punkt associerad med en plan triangel . Det är ett triangelcentrum och det är listat som X(173) i Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers . Denna punkt introducerades till studiet av triangelgeometri av Peter Yff 1989.

Definition

P ₁ Q ₁ = P ₂ Q ₂ = P ₃ Q ₃

En isoscelizer av en vinkel A i en triangel ABC är en linje genom punkterna P ₁ och Q ₁ , där P ₁ ligger på AB och Q ₁ på AC , så att triangeln AP ₁ Q ₁ är en likbent triangel. En isoscelizer av vinkel A är en linje vinkelrät mot bisektrisen av vinkel A.

Låt ABC vara vilken triangel som helst. Låt P ₁ Q ₁ , P ₂ Q ₂ , P ₃ Q ₃ vara isoscelizers för vinklarna A , B , C respektive så att de alla har samma längd. Sedan , för _en_unik_{konfiguration}_,_är de tre isoscelisatorerna P1Qi , P2Q2 , P3Q3 samtidiga _. Punkten för samtidighet är den kongruenta isoscelizers punkten i triangeln ABC .

Egenskaper

Konstruktion för kongruenta isoscelizers punkt. A'B'C' är intryckstriangeln i triangeln ABC och A' 'B' 'C' ' är intryckstriangeln i triangeln A'B'C' .

De trilinjära koordinaterna för den kongruenta isoscelisatorpunkten i triangeln ABC är

( cos ( B /2 ) + cos ( C /2 ) - cos ( A /2'): cos ( C /2 ) + cos ( A /2 ) - cos ( B /2'): cos ( A /2 ) + cos ( B /2 ) - cos ( C /2') )

= ( tan ( A /2 ) + sek ( A /2 ) : tan ( B/ 2 ) ) + sek ( B /2 ) : tan ( C / 2 ) + sek ( C / 2 ) )

Intouchtriangeln i intouchtriangeln i triangel ABC är perspektiv till triangel ABC , och den kongruenta isoscelizerpunkten är perspektorn . Detta faktum kan användas för att lokalisera med geometriska konstruktioner den kongruenta isoscelizers punkten för en given triangel ABC .

Se även