Central triangel

Inom geometrin är en central triangel en triangel i referenstriangelns plan vars trilinjära koordinater vars hörn i förhållande till referenstriangeln kan uttryckas på ett visst cykliskt sätt i termer av två funktioner som har samma grad av homogenitet. Minst en av de två funktionerna måste vara en triangelcentrumfunktion. Den excentrala triangeln är ett exempel på en central triangel. De centrala trianglarna har klassificerats i tre typer baserat på egenskaperna hos de två funktionerna.

Definition

Triangelcenterfunktion

En triangelcentrumfunktion är en reellt värderad funktion F(u,v,w) av tre reella variabler u, v, w som har följande egenskaper:

  • Homogenitetsegenskap : F(tu,tv,tw) = t n F(u,v,w) för någon konstant n och för alla t > 0. Konstanten n är graden av homogenitet för funktionen F(u,v, w).
  • Bisymmetriegenskap: F(u,v,w) = F(u,w,v)

Centraltrianglar av typ 1

Låt f(u,v,w) och g(u,v,w) vara två triangelcentrumfunktioner, inte båda identiskt nollfunktioner, med samma grad av homogenitet. Låt a, b, c vara sidolängderna för referenstriangeln ABC. En (f,g) -central triangel av typ 1 är en triangel A'B'C' vars trilinjära koordinater har följande form:

A' = f(a,b,c) : g(b,c,a) : g(c,a,b) B
' = g(a,b,c) : f(b,c,a) : g(c,a,b)
C' = g(a,b,c) : g(b,c,a) : f(c,a,b)

Centraltrianglar av typ 2

Låt f(u,v,w) vara en triangelcentrumfunktion och g(u,v,w) vara en funktionsfunktion som uppfyller homogenitetsegenskapen och har samma grad av homogenitet som f(u,v,w) men inte uppfyller bisymmetriegenskapen. En (f,g) -central triangel av typ 2 är en triangel A'B'C' vars trekanter har följande form:

A' = f(a,b,c) : g(b,c,a) : g(c,b,a)
B' = g(a,c,b) : f(b,c,a) : g(c,a,b)
C' = g(a,b,c) : g(b,a,c) : f(c,a,b)

Centraltrianglar av typ 3

Låt g(u,v,w) vara en triangelcentrumfunktion. En g -central triangel av typ 3 är en triangel A'B'C' vars trekanter har följande form:

A' = 0 : g(b,c,a) : - g(c,b,a)
B' = - g(a,c,b) : 0 : g(c,a,b)
C' = g (a,b,c): - g(b,a,c): 0

Detta är en degenererad triangel i den meningen att punkterna A'. B', C' är kolinjära.

Speciella fall

Om f = g , degenererar den (f,g) -centrala triangeln av typ 1 till triangelns centrum A'. Alla centrala trianglar av både typ 1 och typ 2 i förhållande till en liksidig triangel degenererar till en punkt.

Exempel

Typ 1

  • Den excentrala triangeln i triangeln ABC är en central triangel av typ 1. Denna erhålls genom att ta f(u,v,w) = -1 och g(u,v,w) = 1 .
  • Låt X vara ett triangelcentrum definierat av triangelcentrumfunktionen g(a,b,c) . Då är den cevianska triangeln av X en (0, g) -central triangel av typ 1.
  • Låt X vara ett triangelcentrum definierat av triangelns centrumfunktion f(a,b,c) . Då är den anticevianska triangeln av X en ( - f, f) -central triangel av typ 1.
  • (f, g) -centraltriangeln med f(a,b,c) = a(2S+S A ) och g( a,b,c) = aS A , där S är två gånger arean av triangeln ABC och S A = (1/2)(b 2 + c 2 - a 2 ) , är Lucas centrala triangel.

Typ 2

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Central_triangle&oldid=1113834555 "