Wirtingers ojämlikhet för funktioner

För andra ojämlikheter uppkallade efter Wirtinger, se Wirtingers ojämlikhet .

Inom det matematiska analysområdet är Wirtinger -ojämlikheten en viktig ojämlikhet för funktioner av en enda variabel, uppkallad efter Wilhelm Wirtinger . Den användes av Adolf Hurwitz 1901 för att ge ett nytt bevis på den isoperimetriska ojämlikheten för kurvor i planet. En mängd närbesläktade resultat är idag kända som Wirtingers ojämlikhet, som alla kan ses som vissa former av Poincaré-ojämlikheten .

Sats

Det finns flera olikvärdiga versioner av Wirtingers ojämlikhet:

• Låt y vara en kontinuerlig och differentierbar funktion på intervallet [0, L ] med medelvärde noll och med y (0) = y ( L ) . Sedan

$\int _{0}^{L}y(x)^{2}\, \mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{4\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\ mathrm {d} x,$

och likhet gäller om och endast om y ( x ) = c sin 2π( x − α) / L för vissa tal c och α .

• Låt y vara en kontinuerlig och differentierbar funktion på intervallet [0, L ] med y (0) = y ( L ) = 0 . Sedan

$\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\ mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm { d} x,$

och likhet gäller om och endast om y ( x ) = c sin π x / L för något tal c .

• Låt y vara en kontinuerlig och differentierbar funktion på intervallet [0, L ] med medelvärde noll. Sedan

$\int _{0}^{L}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {L^{2}}{\pi ^{2}}} \int _{0}^{L}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.$

och likhet gäller om och endast om y ( x ) = c cos π x / L för något tal c .

Trots deras skillnader är dessa nära besläktade med varandra, vilket kan ses från redogörelsen nedan när det gäller spektral geometri . De kan också alla betraktas som specialfall av olika former av Poincaré-ojämlikheten , med den optimala Poincaré-konstanten explicit identifierad. Mellanversionen är också ett specialfall av Friedrichs ojämlikhet , återigen med den optimala konstanten identifierad.

Bevis

De tre versionerna av Wirtingers ojämlikhet kan alla bevisas på olika sätt. Detta illustreras i det följande med en annan typ av bevis för var och en av de tre Wirtinger-ojämlikheterna som ges ovan. I varje fall, genom en linjär förändring av variabler i de inblandade integralerna, finns det ingen förlust av generalitet genom att endast bevisa satsen för ett särskilt val av L .

Fourier-serier

Betrakta den första Wirtinger-ojämlikheten som ges ovan. Anta L är 2π . Eftersom Dirichlets villkor är uppfyllda kan vi skriva

$y(x)={\frac {1}{2}}a_ {0}+\summa _{n\geq 1}\left(a_{n}{\frac {\sin nx}{\sqrt {\pi }}}+b_{n}{\frac {\cos nx} {\sqrt {\pi }}}\right),$

och det faktum att medelvärdet för y är noll betyder att ₀ a = 0 . Av Parsevals identitet ,

$\int _{0}^{2\pi }y(x)^{2}\, \mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$

och

$\int _{0}^{2\pi }y'(x)^{ 2}\,\mathrm {d} x=\summa _{n=1}^{\infty }n^{2}(a_{n}^{2}+b_{n}^{2})$

och eftersom summanderna alla är icke-negativa, bevisas Wirtinger-ojämlikheten. Vidare ser man att likhet gäller om och endast om a _n = b _n = 0 för alla n ≥ 2 , vilket vill säga att y ( x ) = a ₁ sin x + b ₁ cos x . Detta motsvarar det angivna villkoret genom att använda de trigonometriska additionsformlerna .

Integrering av delar

Betrakta den andra Wirtinger-ojämlikheten som ges ovan. Ta L för att vara π . Varje differentierbar funktion y ( x ) uppfyller identiteten

$y(x)^{2}+{\big (}y'(x)-y(x)\cot x{\big )}^{2}=y'(x)^{2}- {\frac {d}{dx}}{\big (}y(x)^{2}\cot x{\big )}.$

Integration med hjälp av kalkylens grundsats och randvillkoren y (0) = y (π) = 0 visar då

$\int _{0}^{\pi}y(x)^{2}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\pi }{\big (}y'(x )-y(x)\cot x{\big )}^{2}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi}y'(x)^{2}\,\ mathrm {d} x.$

Detta bevisar Wirtingers ojämlikhet, eftersom den andra integralen är helt klart icke-negativ. Dessutom anses likhet i Wirtinger-olikheten vara ekvivalent med y ′( x ) = y ( x ) cot x , vars allmänna lösning (beräknad genom separation av variabler ) är y ( x ) = c sin x för en godtyckligt nummer c .

Det finns en subtilitet i ovanstående tillämpning av grundsatsen för kalkyl, eftersom det inte är så att y ( x ) ² cot x sträcker sig kontinuerligt till x = 0 och x = π för varje funktion y ( x ) . Detta löses enligt följande. Det följer av Hölder-olikheten och y (0) = 0 att

$|y(x)|=\left|\int _{0}^{x}y'(x)\, \mathrm {d} x\right|\leq \int _{0}^{x}|y'(x)|\,\mathrm {d} x\leq {\sqrt {x}}\left(\int _{0}^{x}y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x\right)^{1/2},$

som visar att så länge

$\int _{0}^{\pi }y'(x)^{2}\,\mathrm {d} x$

är ändlig är gränsen på 1 / x y ( x ) ² när x konvergerar till noll noll. Eftersom cot x < 1 / x för små positiva värden på x , följer det av squeeze-satsen att y ( x ) ² cot x konvergerar till noll när x konvergerar till noll. På exakt samma sätt kan det bevisas att y ( x ) ² cot x konvergerar till noll när x konvergerar till π .

Funktionsanalys

Betrakta den tredje Wirtinger-ojämlikheten som ges ovan. Ta L för att vara 1 . Givet en kontinuerlig funktion f på [0, 1] med medelvärde noll, låt Tf ) beteckna funktionen u på [0, 1] som har medelvärde noll, och med u "+ f = 0 och u "(0) ) = u ′(1) = 0 . Från grundläggande analys av vanliga differentialekvationer med konstanta koefficienter är egenvärdena för T ( k π) ⁻² för heltal k som inte är noll , varav den största är då π ⁻² . Eftersom T är en avgränsad och självadjoint operatör , följer det att

$\int _ {0}^{1}Tf(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq \pi ^{-2}\int _{0}^{1}f(x)Tf(x) \,\mathrm {d} x={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{0}^{1}(Tf)'(x)^{2}\,\mathrm { d} x$

för alla f av medelvärde noll, där likheten beror på integration av delar . Slutligen, för varje kontinuerligt differentierbar funktion y på [0, 1] med medelvärdet noll, låt g _n vara en sekvens av kompakt stödda kontinuerligt differentierbara funktioner på (0, 1) som konvergerar i L ² till y ′ . Definiera sedan

$y_{n}(x)=\int _{0}^{x}g_{n}(z)\,\mathrm {d} z-\int _{0}^{1}\int _ {0}^{w}g_{n}(z)\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} w.$

Då har varje y _n medelvärde noll med y _n ′(0) = y _n ′(1) = 0 , vilket i sin tur innebär att − y _n ′′ har medelvärde noll. Så tillämpningen av ovanstående olikhet på f = − y _n " är legitim och visar att

$\int _{0}^{1}y_{n}(x)^{2}\,\mathrm {d} x\leq {\frac {1}{\pi ^{2}}}\ int _{0}^{1}y_{n}'(x)^{2}\,\mathrm {d} x.$

Det är möjligt att ersätta y _n med y , och därigenom bevisa Wirtinger-olikheten, så snart det är verifierat att y _n konvergerar i L ² till y . Detta verifieras på ett vanligt sätt, genom att skriva

$y(x)-y_{n}(x)=\int _{0}^{x}{\big (}y_{n}'(z)-g_{n}(z){ \big )}\,\mathrm {d} z-\int _{0}^{1}\int _{0}^{w}(y_{n}'(z)-g_{n}(z) {\big )}\,\mathrm {d} z\,\mathrm {d} w$

och tillämpa Hölder eller Jensen ojämlikheter.

Detta bevisar Wirtingers ojämlikhet. I det fall att y ( x ) är en funktion för vilken likheten i Wirtinger-olikheten gäller, så säger ett standardargument i variationskalkylen att y måste vara en svag lösning av Euler–Lagrange-ekvationen y ′′( x ) + y ( x ) = 0 med y ′(0) = y ′(1) = 0 , och regularitetsteorin för sådana ekvationer, följt av den vanliga analysen av vanliga differentialekvationer med konstanta koefficienter , visar att y ( x ) = c cos π x för något tal c .

För att göra detta argument fullt formellt och exakt är det nödvändigt att vara mer försiktig med funktionsutrymmena i fråga.

Spektral geometri

spektralgeometrins språk kan de tre versionerna av Wirtinger-ojämlikheten ovan omformuleras som satser om det första egenvärdet och motsvarande egenfunktioner hos Laplace-Beltrami-operatorn på olika endimensionella Riemannska grenrör :

• det första egenvärdet för Laplace–Beltrami-operatorn på den Riemannska cirkeln med längden L är 4π ² / L ² , och motsvarande egenfunktioner är de linjära kombinationerna av de två koordinatfunktionerna.
• det första Dirichlet-egenvärdet för Laplace–Beltrami-operatorn på intervallet [0, L ] är π ² / L ² och motsvarande egenfunktioner ges av c sin π x / L för godtyckliga icke-nolltal c .
• det första Neumann-egenvärdet för Laplace–Beltrami-operatorn på intervallet [0, L ] är π ² / L ² och motsvarande egenfunktioner ges av c cos π x / L för godtyckliga icke-nolltal c .

Dessa kan också utvidgas till påståenden om högre dimensionella rum. Till exempel kan den Riemannska cirkeln ses som den endimensionella versionen av antingen en sfär , ett verkligt projektivt utrymme eller torus (av godtycklig dimension). Wirtinger-ojämlikheten, i den första versionen som ges här, kan sedan ses som n = 1 av något av följande:

• det första egenvärdet för Laplace–Beltrami-operatorn på den n -dimensionella enhetsradiesfären är n , och motsvarande egenfunktioner är de linjära kombinationerna av n + 1- koordinatfunktionerna.
• det första egenvärdet för Laplace-Beltrami-operatorn på det n -dimensionella reella projektiva rymden (med normalisering given av den täckande kartan från enhetsradiesfären) är 2 n + 2 , och motsvarande egenfunktioner är begränsningarna för de homogena kvadratiska polynomen på R ^{n + 1} till enhetssfären (och sedan till det verkliga projektiva rummet).
• det första egenvärdet för Laplace-Beltrami-operatorn på den n -dimensionella torusen (givet som den n -faldiga produkten av cirkeln med längden 2π med sig själv) är 1 , och motsvarande egenfunktioner är godtyckliga linjära kombinationer av n -faldiga produkter av egenfunktioner på cirklarna.

Den andra och tredje versionen av Wirtinger-ojämlikheten kan utökas till påståenden om första Dirichlet- och Neumann-egenvärden för Laplace−Beltrami-operatorn på metriska kulor i det euklidiska rummet :

• det första Dirichlet-egenvärdet för Laplace−Beltrami-operatorn på enhetskulan i R ⁿ är kvadraten på den minsta positiva nollan i Bessel-funktionen av det första slaget J _{( n − 2)/2} .
• det första Neumann-egenvärdet för Laplace−Beltrami-operatorn på enhetskulan i R ⁿ är kvadraten på den minsta positiva nollan av den första derivatan av Bessel-funktionen av det första slaget J _{n /2} .

Tillämpning på den isoperimetriska ojämlikheten

I den första formen ovan kan Wirtinger-olikheten användas för att bevisa den isoperimetriska olikheten för kurvor i planet, som Adolf Hurwitz fann 1901. Låt ( x , y ) vara en differentierbar inbäddning av cirkeln i planet. Parametrisering av cirkeln med [0, 2π] så att ( x , y ) har konstant hastighet, längden L på kurvan ges av

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {x'(t)^{2}+y'( t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$

och arean A som omges av kurvan ges (på grund av Stokes sats ) av

$-\int _{0}^{2\pi }y(t)x'(t)\,\mathrm {d} t.$

Eftersom integranden för integralen som definierar L antas konstant, finns det

${\frac {L^{2 }}{2\pi }}-2A=\int _{0}^{2\pi }{\big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}+2y( t)x'(t){\big )}\,\mathrm {d} t$

som kan skrivas om som

$\int _{0}^{2\pi }{\big (}x'(t)+y(t){\big )}^{2}\,\mathrm {d} t+\int _ {0}^{2\pi }{\big (}y'(t)^{2}-y(t)^{2}{\big )}\,\mathrm {d} t.$

Den första integralen är helt klart icke-negativ. Utan att ändra arean eller längden på kurvan ( x , y ) ersättas med ( x , y + z ) för något tal z , så att y har ett medelvärde noll. Sedan kan Wirtinger-ojämlikheten tillämpas för att se att den andra integralen också är icke-negativ, och därför

${\frac {L^{2}}{4\pi }}\geq A,$

vilket är den isoperimetriska ojämlikheten. Vidare innebär likhet i den isoperimetriska ojämlikheten både likhet i Wirtinger-olikheten och även likheten x ′( t ) + y ( t ) = 0 , vilket uppgår till y ( t ) = c ₁ sin( t – α) och sedan x ( t ) = c ₁ cos( t – α) + c ₂ för godtyckliga tal c ₁ och c ₂ . Dessa ekvationer betyder att bilden av ( x , y ) är en rund cirkel i planet.

•     Brezis, Haim (2011). Funktionsanalys, Sobolevrum och partiella differentialekvationer . Universitext. New York: Springer . doi : 10.1007/978-0-387-70914-7 . ISBN 978-0-387-70913-0 . MR 2759829 . Zbl 1220.46002 .
•     Chavel, Isaac (1984). Egenvärden i Riemannsk geometri . Ren och tillämpad matematik. Vol. 115. Orlando, FL: Academic Press . doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6051-9 . ISBN 0-12-170640-0 . MR 0768584 . Zbl 0551.53001 .
•    Hardy, GH ; Littlewood, JE ; Pólya, G. (1952). Inequalities (Andra upplagan av 1934 års originalupplaga). Cambridge University Press . MR 0046395 . Zbl 0047.05302 .
•   Hurwitz, A. (1901). Sur le problème des isopérimètres . Comptes Rendes des Séances de l'Académie des Sciences . Vol. 132. s. 401–403. JFM 32.0386.01 .
•    Stein, Elias M. ; Weiss, Guido (1971). Introduktion till Fourieranalys av euklidiska rum . Princeton Mathematical Series. Vol. 32. Princeton, NJ: Princeton University Press . MR 0304972 . Zbl 0232.42007 .