Whitneys villkor
Inom differentiell topologi , en gren av matematiken , är Whitney -villkoren villkor på ett par undergrenrör till ett grenrör som introducerades av Hassler Whitney 1965.
En stratifiering av ett topologiskt utrymme är en ändlig filtrering av slutna delmängder Fi , så att skillnaden mellan på varandra följande medlemmar Fi och F ( i − 1) av filtreringen är antingen tom eller en jämn undergren av dimensionen i . De sammankopplade komponenterna i skillnaden F i − F ( i − 1) är skikten av dimension i . En stratifiering kallas en Whitney-stratifiering om alla par av skikt uppfyller Whitney-villkoren A och B, enligt definitionen nedan.
Whitney-förhållandena i R n
Låt X och Y vara två disjunkta ( lokalt slutna ) undergrenrör av Rn , med dimensionerna i och j .
- X och Y uppfyller Whitneys villkor A om när en sekvens av punkter x 1 , x 2 , ... i X konvergerar till en punkt y i Y , och sekvensen av tangent i -planen T m till X i punkterna x m konvergerar till en i -planet T som m tenderar mot oändligheten, då innehåller T tangenten j -planet till Y vid y .
- X och Y uppfyller Whitneys villkor B om för varje sekvens x 1 , x 2 , ... av punkter i X och varje sekvens y 1 , y 2 , ... av punkter i Y , båda konvergerar till samma punkt y i Y , så att sekvens av sekantlinjer L m mellan x m och y m konvergerar till en linje L eftersom m tenderar mot oändligheten, och sekvensen av tangent i -planen T m till X vid punkterna x m konvergerar till ett i -plan T som m tenderar till oändlighet, då ingår L i T .
John Mather påpekade först att Whitneys tillstånd B antyder Whitneys tillstånd A i anteckningarna från hans föreläsningar vid Harvard 1970, som har fått stor spridning. Han definierade också begreppet Thom-Mather stratifierat utrymme, och bevisade att varje Whitney stratifiering är ett Thom-Mather stratifierat utrymme och därmed är ett topologiskt stratifierat utrymme . Ett annat förhållningssätt till detta grundläggande resultat gavs tidigare av René Thom 1969.
David Trotman visade i sin Warwick-avhandling från 1977 att en stratifiering av en sluten delmängd i ett jämnt grenrör M uppfyller Whitneys villkor A om och endast om delrummet av utrymmet av släta mappningar från ett slätt grenrör N till M som består av alla de kartor som är tvärs över alla skikten i skiktningen, är öppen (med användning av Whitney, eller stark, topologi). Underrummet av avbildningar tvärgående mot någon räknebar familj av undergrenar av M är alltid tät av Thoms transversalitetsteorem . Tätheten av uppsättningen av tvärgående kartläggningar tolkas ofta genom att säga att transversalitet är en ' generisk' egenskap för smidiga kartläggningar, medan öppenheten ofta tolkas genom att säga att egenskapen är "stabil".
Anledningen till att Whitney-villkoren har blivit så allmänt använda är på grund av Whitneys sats från 1965 att varje algebraisk variant, eller faktiskt analytisk variant, medger en Whitney-stratifiering, dvs. tillåter en uppdelning i jämna undergrenar som uppfyller Whitney-villkoren. Mer allmänna singulära utrymmen kan ges Whitney-stratifieringar, såsom semialgebraiska uppsättningar (på grund av René Thom ) och subanalytiska uppsättningar (på grund av Heisuke Hironaka ). Detta har lett till att de används inom teknik, styrteori och robotik. I en avhandling under ledning av Wieslaw Pawlucki vid Jagellonian University i Kraków, Polen, bevisade den vietnamesiska matematikern Ta Lê Loi ytterligare att varje definierbar mängd i en o-minimal struktur kan ges en Whitney-stratifiering. [ citat behövs ]
Se även
- Thom–Mather skiktat utrymme
- Topologiskt skiktat utrymme
- Thoms första isotopilemma
- Stratifierat utrymme
- Mather, John Notes on topological stabilitet , Harvard, 1970 ( tillgänglig på hans webbsida vid Princeton University) .
- Thom, René Ensembles et morphismes stratifiés , Bulletin of the American Mathematical Society Vol. 75, s. 240–284), 1969.
- Trotman, David Stabilitet av transversalitet till en stratifiering innebär Whitney (a)-regularitet, Inventiones Mathematicae 50(3), s. 273–277, 1979.
- Trotman, David Comparing regularity conditions on stratifications, Singularities, Part 2 (Arcata, Calif., 1981), volym 40 av Proc. Sympos. Ren matte., s. 575–586. American Mathematical Society, Providence, RI, 1983.
- Whitney, Hassler Lokala egenskaper hos analytiska sorter. Differentiell och kombinatorisk topologi (A Symposium in Honor of Marston Morse ) s. 205–244 Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1965.
- Whitney, Hassler , Tangents to an analytic variation, Annals of Mathematics 81, nr. 3 (1965), s. 496-549.