Whiteheads sats

Ej att förväxla med Whitehead-problem eller Whitehead-förmodan .

I homotopiteorin (en gren av matematiken ), säger Whitehead-satsen att om en kontinuerlig kartläggning f mellan CW-komplexen X och Y inducerar isomorfismer på alla homotopigrupper , då är f en homotopiekvivalens . Detta resultat bevisades av JHC Whitehead i två landmärkestidningar från 1949, och ger en motivering för att arbeta med konceptet med ett CW-komplex som han introducerade där. Det är ett modellresultat av algebraisk topologi , där beteendet hos vissa algebraiska invarianter (i detta fall homotopigrupper) bestämmer en topologisk egenskap hos en kartläggning.

Påstående

Mer detaljerat, låt X och Y vara topologiska utrymmen . Givet en kontinuerlig kartläggning

$f\colon X\to Y$

och en punkt x i X , beakta för varje n ≥ 1 den inducerade homomorfismen

$f_{*}\colon \pi _{n}(X,x)\to \pi _{n} (Y,f(x)),$

₀ där π _n ( X , x ) betecknar den n :te homotopigruppen av X med baspunkt x . (För n = 0 betyder π ( X ) bara uppsättningen av vägkomponenter för X .) En karta f är en svag homotopiekvivalens om funktionen

$f_{*}\colon \pi _{0}(X)\to \pi _{0}(Y)$

är bijektiv , och homomorfismerna f _* är bijektiva för alla x i X och alla n ≥ 1. (För X- och Y -väganslutna är det första villkoret automatiskt, och det räcker med att ange det andra villkoret för en enda punkt x i X .) Whitehead-satsen säger att en svag homotopi-ekvivalens från ett CW-komplex till ett annat är en homotopi-ekvivalens. (Det vill säga att kartan f : X → Y har en homotopi-invers g : Y → X , vilket inte alls framgår av antagandena.) Detta innebär samma slutsats för utrymmen X och Y som är homotopiekvivalenta med CW-komplex.

Att kombinera detta med Hurewicz-satsen ger en användbar följd: en kontinuerlig karta $f\colon X\to Y$ mellan enkelt sammankopplade CW-komplex som inducerar en isomorfism på alla integrala homologigrupper är en homotopi-ekvivalens.

Utrymmen med isomorfa homotopigrupper kanske inte är homotopiekvivalenta

Ett varningens ord: det räcker inte att anta att π _n ( X ) är isomorf till π _n ( Y ) för varje n för att dra slutsatsen att X och Y är homotopiekvivalenter. Man behöver verkligen en karta f : X → Y som inducerar en isomorfism på homotopigrupper. Ta till exempel X = S ² × RP ³ och Y = RP ² × S ³ . Då X och Y samma grundgrupp , nämligen den cykliska gruppen Z /2, och samma universella täckning, nämligen S ² × S ³ ; sålunda har de isomorfa homotopigrupper. Å andra sidan är deras homologigrupper olika (som kan ses från Künneth-formeln ); sålunda X och Y inte homotopiekvivalenta.

Whitehead-satsen gäller inte för allmänna topologiska rum eller ens för alla delrum av R ⁿ . Till exempel Warszawacirkeln , en kompakt delmängd av planet, alla homotopigrupper noll, men kartan från Warszawacirkeln till en enda punkt är inte en homotopiekvivalens. Studiet av möjliga generaliseringar av Whiteheads teorem till mer allmänna utrymmen är en del av ämnet formteori .

Generalisering till modellkategorier

I alla modellkategorier är en svag ekvivalens mellan kofibrant-fibrantobjekt en homotopiekvivalens.

• JHC Whitehead, kombinatorisk homotopi. I. , Bull. Amer. Matematik. Soc., 55 (1949), 213–245
• JHC Whitehead, kombinatorisk homotopi. II. , Tjur. Amer. Matematik. Soc., 55 (1949), 453–496
•     A. Hatcher, Algebraic topology , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 s. ISBN 0-521-79160-X och ISBN 0-521-79540-0 (se sats 4.5)