Wavelet transform modul maxima metod

Wavelet transform modulus maxima (WTMM) är en metod för att detektera fraktaldimensionen hos en signal.

Mer än detta är WTMM kapabel att dela upp tids- och skaldomänen för en signal i fraktala dimensionsregioner, och metoden kallas ibland för ett "matematiskt mikroskop" på grund av dess förmåga att inspektera flerskaliga dimensionella egenskaper hos en signalera och eventuellt informera om källorna till dessa egenskaper.

WTMM-metoden använder kontinuerlig wavelet-transform snarare än Fourier-transformer för att detektera singulariteter – det vill säga diskontinuiteter, områden i signalen som inte är kontinuerliga vid en viss derivata.

I synnerhet är denna metod användbar när man analyserar multifraktala signaler, det vill säga signaler som har flera fraktala dimensioner.

Beskrivning

Betrakta en signal som kan representeras av följande ekvation:

$f(t)=a_{0} +a_{1}(t-t_{i})+a_{2}(t-t_{i})^{2}+\cdots +a_{h}(t-t_{i})^{h_{ i}}\,$

där $t$ är nära $t_{i}$ och $h_{i}$ är ett icke-heltal som kvantifierar den lokala singulariteten. (Jämför detta med en Taylor-serie , där i praktiken endast ett begränsat antal termer av låg ordning används för att approximera en kontinuerlig funktion.)

I allmänhet bryter en kontinuerlig wavelet-transform ner en signal som en funktion av tiden, snarare än att anta att signalen är stationär (till exempel Fourier-transformen). Vilken kontinuerlig wavelet som helst kan användas, även om den första derivatan av Gauss-fördelningen och den mexikanska hatt-waveleten (2:a derivatan av Gauss) är vanliga. Valet av wavelet kan bero på egenskaperna hos den signal som undersöks.

Nedan ser vi en möjlig wavelet-bas som ges av den första derivatan av Gauss:

$G'(t,a,b)= {\frac {a}{(2\pi )^{-1/2}}}(tb)e^{\left({\frac {-(tb)^{2}}{2a^{2}} }\höger)}\,$

När väl en "modervåg" har valts, utförs den kontinuerliga vågformade transformationen som en kontinuerlig, kvadratintegrerbar funktion som kan skalas och översättas. Låt $a>0$ vara skalningskonstanten och $b\in \mathbb {R}$ vara översättningen av vågen längs signalen:

$X_{w}(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi ^{\ast }\left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt$

där $\psi (t)$ är en kontinuerlig funktion i både tidsdomänen och frekvensdomänen som kallas modervågen och $^{\ast }$ representerar driften av komplext konjugat .

Genom att beräkna $X_{w}(a,b)$ för efterföljande wavelets som är derivator av moderwaveleten, kan singulariteter identifieras. Successiva derivatvågor tar bort bidraget från termer av lägre ordning i signalen, vilket gör att det maximala $h_{i}$ kan detekteras. (Kom ihåg att när du tar derivat, blir termer av lägre ordning 0.) Detta är "modulens maxima".

Således identifierar denna metod singularitetsspektrumet genom att konvolvera signalen med en våg i olika skalor och tidsförskjutningar.

WTMM är sedan kapabel att producera ett "skelett" som delar upp skalan och tidsrummet efter fraktal dimension.

Historia

WTMM utvecklades ur det större området av kontinuerliga wavelet-transformeringar, som uppstod på 1980-talet, och dess samtida fraktala dimensionsmetoder.

I grund och botten är det en kombination av fraktala dimensionsboxräkningsmetoder och kontinuerliga wavelettransformeringar, där wavelets i olika skalor används istället för lådor.

WTMM utvecklades ursprungligen av Mallat och Hwang 1992 och användes för bildbehandling [ 1] .

Bacry, Muzy och Arneodo var tidiga användare av denna metod. [3] [4] Det har senare använts inom områden relaterade till signalbehandling.

• Alain Arneodo et al. (2008), Scholarpedia , 3(3):4103. [5]
•   A Wavelet Tour of Signal Processing , av Stéphane Mallat; ISBN 012466606X ; Academic Press, 1999 [6]
• Mallat, S.; Hwang, WL;, "Singularity detection and processing with wavelets," IEEE Transactions on Information Theory , volym 38, nummer 2, sidorna 617–643, Mar 1992 doi : 10.1109/18.119727 [7]
• Arneodo on Wavelets [8]
•    Muzy, JF; Bacry, E.; Arneodo, A. (1991-12-16). "Vågor och multifraktal formalism för singulära signaler: Tillämpning på turbulensdata". Fysiska granskningsbrev . American Physical Society (APS). 67 (25): 3515–3518. Bibcode : 1991PhRvL..67.3515M . doi : 10.1103/physrevlett.67.3515 . ISSN 0031-9007 . PMID 10044755 .
•    Muzy, JF; Bacry, E.; Arneodo, A. (1993-02-01). "Multifraktal formalism för fraktala signaler: struktur-funktionsmetoden kontra wavelet-transform modulus-maxima-metoden" ( PDF) . Fysisk granskning E . American Physical Society (APS). 47 (2): 875–884. Bibcode : 1993PhRvE..47..875M . doi : 10.1103/physreve.47.875 . ISSN 1063-651X . PMID 9960082 .