Kontinuerlig wavelet-transform

Kontinuerlig wavelettransform av frekvensnedbrytningssignal. Använd symbol med 5 försvinnande ögonblick.

Inom matematik är den kontinuerliga wavelet-transformen ( CWT ) ett formellt (dvs icke-numeriskt) verktyg som tillhandahåller en överfullständig representation av en signal genom att låta vågornas translations- och skalparameter variera kontinuerligt.

Den kontinuerliga wavelet-transformen av en funktion $x(t)$ på en skala (a>0) $a\in \mathbb {R^{+*}}$ och translationsvärde $b\in \mathbb {R}$ uttrycks av följande integral

$$X_{w}(a,b)={\frac {1}{|a|^{1/2} }}\int _{-\infty }^{\infty }x(t){\overline {\psi }}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,dt$$

där $\psi (t)$ är en kontinuerlig funktion i både tidsdomänen och frekvensdomänen som kallas modervågen och överlinjen representerar driften av komplext konjugat . Huvudsyftet med moderwaveleten är att tillhandahålla en källfunktion för att generera dotterwaveleterna som helt enkelt är de översatta och skalade versionerna av moderwaveleten. För att återställa den ursprungliga signalen $x(t)$ kan den första inversa kontinuerliga wavelettransformen utnyttjas.

$x(t)=C_{\psi }^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{ -\infty }^{\infty }X_{w}(a,b){\frac {1}{|a|^{1/2}}}{\tilde {\psi }}\left({\frac {tb}{a}}\right)\,db\ {\frac {da}{a^{2}}}$

${\tilde {\psi }}(t)$ är den dubbla funktionen av $\psi (t)$ och

$C_{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\overline {\hat {\psi }}}(\omega ){\hat {\tilde {\psi }}}(\omega )}{|\omega |}}\,d\omega$

är tillåten konstant, där hatt betyder Fouriertransformoperator. Ibland, ${\displaystyle {\tilde {\psi }}(t)=\psi (t)} ,$ då blir den tillåtna konstanten

$C_{\psi }=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\left|{\hat {\psi }}(\omega )\right|^{2 }}{\left|\omega \right|}}\,d\omega$

Traditionellt kallas denna konstant för wavelet-tillåten konstant. En wavelet vars tillåtna konstant uppfyller

$0<C_{\psi }<\infty$

kallas en tillåten wavelet. En tillåten wavelet innebär att ${\displaystyle {\hat {\psi }}(0)=0} ,$ så att en tillåten wavelet måste integreras till noll. För att återställa den ursprungliga signalen $x(t)$ kan den andra inversa kontinuerliga wavelettransformen utnyttjas.

$x(t) ={\frac {1}{2\pi {\overline {\hat {\psi }}}(1)}}\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^{\ infty }{\frac {1}{a^{2}}}X_{w}(a,b)\exp \left(i{\frac {tb}{a}}\right)\,db\ da$

Denna omvända transformation föreslår att en wavelet bör definieras som

$\psi (t)=w(t)\exp(it)$

där $w(t)$ är ett fönster. En sådan definierad wavelet kan kallas som en analyserande wavelet, eftersom den tillåter tidsfrekvensanalys. En analyserande wavelet är onödig för att vara tillåten.

Skalfaktor

Skalfaktorn $a$ vidgar eller komprimerar en signal. När skalfaktorn är relativt låg blir signalen mer kontrakterad vilket i sin tur resulterar i en mer detaljerad graf. Nackdelen är dock att låg skalfaktor inte varar under hela signalens varaktighet. Å andra sidan, när skalfaktorn är hög, sträcks signalen ut vilket innebär att den resulterande grafen kommer att presenteras i mindre detalj. Icke desto mindre varar den vanligtvis under hela signalens varaktighet.

Kontinuerlig wavelet-transformegenskaper

I definitionen är den kontinuerliga wavelet-transformen en faltning av indatasekvensen med en uppsättning funktioner som genereras av moderwaveleten. Konvolutionen kan beräknas genom att använda en snabb Fourier-transform (FFT) algoritm. Normalt är utsignalen $X_{w}(a,b)$ en verkligt värderad funktion förutom när modervågen är komplex. En komplex moderwavelet kommer att omvandla den kontinuerliga wavelettransformen till en komplex värderad funktion. Effektspektrumet för den kontinuerliga wavelet-transformen kan representeras av ${\frac {1}{a}}\cdot |X_{w}(a,b)|^{2}$ .

Visualisera effekten av att ändra en Morlet-wavelets $\sigma$ -parameter, som interpolerar mellan den ursprungliga tidsserien och en Fourier-transform . Här analyseras en frekvensmodulerad ton (plus brus); $1/\sigma$ justeras från 1 till 200, i steg av enhet.

Tillämpningar av wavelet-transformen

En av de mest populära tillämpningarna för wavelet-transform är bildkomprimering. Fördelen med att använda wavelet-baserad kodning i bildkomprimering är att det ger betydande förbättringar i bildkvalitet vid högre kompressionsförhållanden jämfört med konventionella tekniker. Eftersom wavelet-transform har förmågan att dekomponera komplex information och mönster till elementära former, används den ofta i akustikbehandling och mönsterigenkänning, men den har också föreslagits som en momentan frekvensuppskattare. Dessutom kan wavelettransformationer tillämpas på följande vetenskapliga forskningsområden: kant- och hörndetektering, partiell differentialekvationslösning, transientdetektering, filterdesign, elektrokardiogramanalys (EKG), texturanalys, affärsinformationsanalys och gånganalys. Wavelet-transformationer kan också användas i elektroencefalografi (EEG) dataanalys för att identifiera epileptiska toppar som härrör från epilepsi . Wavelet-transform har också framgångsrikt använts för tolkning av tidsserier av jordskred och för att beräkna epidemiers föränderliga periodicitet.

Continuous Wavelet Transform (CWT) är mycket effektiv för att bestämma dämpningsförhållandet för oscillerande signaler (t.ex. identifiering av dämpning i dynamiska system). CWT är också mycket resistent mot bruset i signalen.

Se även

• Kontinuerlig wavelet
• S omvandla
• Tid-frekvensanalys

• A. Grossmann & J. Morlet, 1984, Decomposition of Hardy functions into square integrerbara wavelets med konstant form, Soc. Int. Am. Matematik. (SIAM), J. Math. Analys., 15, 723-736.
• Lintao Liu och Houtse Hsu (2012) "Inversion and normalization of time-frequency transform" AMIS 6 nr 1S s. 67S-74S.
•   Stéphane Mallat , "A wavelet tour of signal processing" 2nd Edition, Academic Press, 1999, ISBN 0-12-466606-X
• Ding, Jian-Jiun (2008), Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform , visad 19 januari 2008
• Polikar, Robi (2001), The Wavelet Tutorial , visad 19 januari 2008
• WaveMetrics (2004), Time Frequency Analysis , visad 18 januari 2008
• Valens, Clemens (2004), A Really Friendly Guide to Wavelets , visad 18 september 2018]
• Mathematica Kontinuerlig Wavelet Transform
• Lewalle, Jacques: Continuous wavelet transform , visad 6 februari 2010

externa länkar

• på YouTube