Wallis integraler

Inom matematiken , och mer exakt i analysen , utgör Wallis-integralerna en familj av integraler som introducerades av John Wallis .

Definition, grundläggande egenskaper

Wallis -integralerna är termerna för sekvensen $(W_{n})_{n\geq 0}$ definierad av

$W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx,$

eller motsvarande,

$W_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx.$

De första termerna i denna sekvens är:

$W_{0}$	$W_{1}$	$W_{2}$	$W_{3}$	$W_{4}$	$W_{5}$	$W_{6}$	$W_{7}$	$W_{8}$	...	$W_{n}$
${\frac {\pi }{2}}$	$1$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {2}{3}}$	${\frac {3\pi }{16}}$	${\frac {8}{15}}$	${\frac {5\pi }{32}}$	${\frac {16}{35}}$	${\frac {35\pi }{256}}$	...	${\frac {n-1}{n}}W_{n-2}$

Sekvensen $(W_{n})$ är avtagande och har positiva termer. Faktum är att för alla $n\geq 0:$

• $W_{n}>0,$ eftersom det är en integral av en icke-negativ kontinuerlig funktion som inte är identiskt noll;
• $W_{n}-W_{n+1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx-\int _{0} ^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n+1}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi}{2}}(\sin ^{n} x)(1-\sin x)\,dx>0,$ igen eftersom den sista integralen är av en icke-negativ kontinuerlig funktion.

Eftersom sekvensen $(W_{n})$ minskar och begränsas under av 0, konvergerar den till en icke-negativ gräns. Gränsen är faktiskt noll (se nedan).

Återkommande förhållande

Genom integrering av delar kan en reduktionsformel erhållas. Med identiteten $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ har vi för alla $n\geq 2$ ,

${\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx&=\int _{0}^{ \frac {\pi }{2}}(\sin ^{n-2}x)(1-\cos ^{2}x)\,dx\\&=\int _{0}^{\frac { \pi }{2}}\sin ^{n-2}x\,dx-\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^ {2}x\,dx.\qquad {\text{Ekvation (1)}}\end{aligned}}$

Integrering av den andra integralen med delar, med:

• ${\displaystyle v'(x)=\cos(x)\sin ^{n-2}(x)} ,$ vars antiderivata är $v(x)={\frac {1}{n-1}}\sin ^{n-1}(x)$
• $u(x)=\cos(x)$ , vars derivata är $u'(x)= -\sin(x),$

vi har:

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-2}x\cos ^{2}x\,dx=\left[{\frac {\sin ^{n-1}x}{n-1}}\cos x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{n-1}}\ int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n-1}x\sin x\,dx=0+{\frac {1}{n-1}}W_{n }.$

Att ersätta detta resultat med ekvation (1) ger

$W_{n}=W_{n-2}-{\frac {1}{n-1}}W_{n},$

och sålunda

$W_{n}={\frac {n-1}{n}}W_{n-2},\qquad {\text{Ekvation (2)}}$

för alla $n\geq 2.$

Detta är en återkommande relation som ger $W_{n}$ i termer av $W_{n-2}$ . $(W_) {n})$ , tillsammans med värdena för $W_{0}$ och $W_{1},$ ger oss två uppsättningar formler för termerna i sekvensen ( , beroende på om $n$ är udda eller jämn:

• $W_{2p}={\frac {2p-1}{2p}}\cdot {\frac {2p-3}{2p-2}}\cdots {\frac {1}{2}}W_{0}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi }{2}}={ \frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}},$
• $W_{2p+1}={\frac {2p}{2p+1}}\cdot {\frac {2p-2}{2p-1}}\cdots {\frac {2}{3}} W_{1}={\frac {(2p)!!}{(2p+1)!!}}={\frac {2^{2p}(p!)^{2}}{(2p+1) !}}.$

En annan relation för att utvärdera Wallis integraler

Wallis integraler kan utvärderas genom att använda Euler-integraler :

1. Euler- integralen av det första slaget : Beta-funktionen :

   ${ \displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\ Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$ för Re( x ), Re( y ) > 0

2. Euler-integralen av det andra slaget : Gamma-funktionen :

   $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{ z-1}e^{-t}\,dt$ för Re( z ) > 0 .

Om vi ​​gör följande substitution i Beta-funktionen: ${\displaystyle \quad \left\{{\ börja{matrix}t=\sin ^{2}u\\1-t=\cos ^{2}u\\dt=2\sin u\cos udu\end{matrix}}\right.,} vi$ får :

$\mathrm {B} (a,b)=2\int _{0}^ {\frac {\pi }{2}}\sin ^{2a-1}u\cos ^{2b-1}u\,du,$

så detta ger oss följande relation för att utvärdera Wallis-integralerna:

$W_{n}={\frac {1}{2}}\mathrm {B} \left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\ höger)={\frac {\Gamma \left({\tfrac {n+1}{2}}\right)\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)}{2\, \Gamma \left({\tfrac {n}{2}}+1\höger)}}.$

Så för udda $n$ , skriver $n=2p+1$ , har vi:

$W_{2p+1}={\frac {\Gamma \left(p+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{2\,\ Gamma \left(p+1+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {p!\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{ (2p+1)\,\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {2^{p}\;p!}{(2p+1)! !}}={\frac {2^{2\,p}\;(p!)^{2}}{(2p+1)!}},$

medan för jämn $n$ , skriver du $n=2p$ och vet att $\Gamma \left({\tfrac {1}{2}} \right)={\sqrt {\pi }}$ , vi får:

$W_{2p}={\frac {\Gamma \left(p+{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)} {2\,\Gamma \left(p+1\right)}}={\frac {(2p-1)!!\;\pi }{2^{p+1}\;p!}}={ \frac {(2p)!}{2^{2\,p}\;(p!)^{2}}}\cdot {\frac {\pi }{2}}.$

Likvärdighet

• Från upprepningsformeln ovan $\mathbf {(2)}$ , kan vi härleda att

$\ W_{n+1}\sim W_{n}$ (ekvivalens av två sekvenser).

Faktum är att för alla $n\in \,\mathbb {N}$ :

$\ W_{n+2}\leqslant W_{n+ 1}\leqslant W_{n}$ (eftersom sekvensen minskar)

${\displaystyle {\frac {W_{n+2}}{W_{n} }}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1} (eftersom$ W $\displaystyle \ W_{n}>0}$ )

${\frac {n+1}{n+2}}\leqslant {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\leqslant 1$ ( genom ekvation $\mathbf {(2)}$ ).

Genom sandwichsatsen drar vi slutsatsen att ${\displaystyle {\frac {W_{n+1}}{W_{n}}}\to 1} ,$ och därmed $\ W_{n+1}\sim W_{n}$ .

• Genom att undersöka $W_{n}W_{n+1}$ får man följande ekvivalens:

$W_{n}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2\,n}}}\quad$ (och följaktligen $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt {n}}\ ,W_{n}={\sqrt {\pi /2}}$ ).

Bevis

För alla $n\in \,\mathbb {N}$ , låt $u_{n}=(n+1)\, W_{n}\,W_{n+1}$ .

Det visar sig att, $\forall n\in \mathbb {N} ,\,u_{n+1}=u_{n}$ på grund av ekvation $\mathbf {(2)}$ . Med andra ord $\ (u_{n})$ är en konstant.

Det följer att för alla $n\in \,\mathbb {N}$ , $u_{n}=u_{0}=W_{0 }\,W_{1}={\frac {\pi }{2}}$ .

Nu, eftersom $\ n+1\sim n$ och $\ W_{n+1}\sim W_{n}$ har vi, genom produktregler för ekvivalenter, $\ u_{n}\sim n\,W_{n}^{2}$ .

Alltså ${\displaystyle \ n\,W_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2}}} ,$ varifrån det önskade resultatet följer (observera att $\ W_{n}>0$ ).

Härleda Stirlings formel

Antag att vi har följande ekvivalens (känd som Stirlings formel ):

$n!\sim C{\sqrt {n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$

för någon konstant $C$ som vi vill bestämma. Uppifrån har vi

$W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2{ \sqrt {p}}}}$ (ekvation (3))

Om vi ​​expanderar $W_{2p}$ och använder formeln ovan för faktorerna får vi

${\begin{aligned}W_{2p}&={\frac {(2p)!}{2^{2p}(p!)^{2}}}\cdot {\ frac {\pi }{2}}\\&\sim {\frac {C\left({\frac {2p}{e}}\right)^{2p}{\sqrt {2p}}}{2^ {2p}C^{2}\left({\frac {p}{e}}\right)^{2p}\left({\sqrt {p}}\right)^{2}}}\cdot { \frac {\pi }{2}}\\&={\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}.{\text{ (ekvation (4))}}\end{aligned} }$

Från (3) och (4) får vi genom transitivitet:

${\frac {\pi }{C{\sqrt {2p}}}}\sim {\frac {\sqrt {\pi }}{2{\sqrt {p}}}}.$

Att lösa för $C$ ger $C={\sqrt {2\pi }}.$ Med andra ord,

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Härleda dubbelfaktorförhållandet

På samma sätt har vi från ovan:

$W_{2p}\sim {\sqrt {\frac {\pi }{4p}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}} .$

Om vi ​​expanderar $W_{2p}$ och använder formeln ovan för dubbla fakulteter får vi:

$W_{2p}={\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\cdot {\frac {\pi}{2}}\sim {\frac {1}{ 2}}{\sqrt {\frac {\pi }{p}}}.$

Förenklat får vi:

${\frac {(2p-1)!!}{(2p)!!}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\pi \,p}}},$

eller

${\frac {(2p)!!}{(2p-1)!!}}\sim {\sqrt {\pi \,p}}.$

Utvärdera den Gaussiska integralen

Den Gaussiska integralen kan utvärderas genom att använda Wallis integraler.

Vi bevisar först följande ojämlikheter:

• $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb {R} _{+}\quad u\leqslant n\quad \Rightarrow \quad (1-u/n)^{n}\leqslant e^{-u}$
• $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \forall u\in \mathbb { R} _{+}\qquad e^{-u}\leqslant (1+u/n)^{-n}$

Faktum är att låta $u/n=t$ , den första olikheten (där ${\displaystyle t\in [0,1]} )$ motsvarar $1-t\leqslant e^{-t}$ ; medan den andra olikheten reduceras till ${\displaystyle e^{-t}\leqslant (1+t)^{-1}} ,$ vilket blir ${\ displaystyle e^{t}\geqslant 1+t}$ . Dessa 2 senare olikheter följer av exponentialfunktionens konvexitet (eller från en analys av funktionen ${\displaystyle t\mapsto e^{t}-1-t} )$ .

​​låter $u=x^{2}$ och använder de grundläggande egenskaperna hos oegentliga integraler (konvergensen av integralerna är uppenbar), får vi olikheterna:

${\ displaystyle \int _{0}^{\sqrt {n}}(1-x^{2}/n)^{n}dx\leqslant \int _{0}^{\sqrt {n}}e^{ -x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\leqslant \int _{0}^{+\infty }(1+ x^{2}/n)^{-n}dx}$ för användning med sandwichsatsen (som ${\displaystyle n\to \infty } )$ .

Den första och sista integralen kan enkelt utvärderas med Wallis integraler. För den första, låt $x={\sqrt {n}}\,\sin \,t$ (t varierar från 0 till ${\displaystyle \pi /2} )$ . Sedan blir integralen ${\sqrt {n}}\,W_{2n+1}$ . För den sista integralen, låt $x={\sqrt {n}}\,\tan \,t$ (t varierande från $0$ till $\pi / 2$ ). Sedan blir det ${\sqrt {n}}\,W_{2n-2}$ .

Som vi har visat tidigare, $\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {n}}\;W_{n}={\sqrt { \pi /2}}$ . Så det följer att $\int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\ pi }}/2$ .

Anmärkning: Det finns andra metoder för att utvärdera den Gaussiska integralen. Vissa av dem är mer direkta.

Notera

Samma egenskaper leder till Wallis produkt , som uttrycker ${\frac {\pi }{2}}\,$ (se ${\displaystyle \pi } )$ i form av en oändlig produkt .

externa länkar

• Pascal Sebah och Xavier Gourdon. Introduktion till gammafunktionen . I PostScript- och HTML- format.