WKB-uppskattning

Inom matematisk fysik är WKB -approximationen eller WKB-metoden en metod för att hitta ungefärliga lösningar på linjära differentialekvationer med rumsligt varierande koefficienter. Det används vanligtvis för en semiklassisk beräkning inom kvantmekaniken där vågfunktionen omarbetas som en exponentiell funktion, semiklassiskt expanderad, och sedan anses antingen amplituden eller fasen ändras långsamt.

Namnet är en initialism för Wentzel–Kramers–Brillouin . Det är också känt som LG eller Liouville-Green-metoden . Andra ofta använda bokstavskombinationer inkluderar JWKB och WKBJ , där "J" står för Jeffreys.

Kortfattad bakgrund

Denna metod är uppkallad efter fysikerna Gregor Wentzel , Hendrik Anthony Kramers och Léon Brillouin , som alla utvecklade den 1926. 1923 hade matematikern Harold Jeffreys utvecklat en allmän metod för att approximera lösningar till linjära, andra ordningens differentialekvationer, en klass som inkluderar Schrödinger-ekvationen . Själva Schrödinger-ekvationen utvecklades inte förrän två år senare, och Wentzel, Kramers och Brillouin var uppenbarligen omedvetna om detta tidigare arbete, så Jeffreys försummas ofta. Tidiga texter inom kvantmekaniken innehåller valfritt antal kombinationer av deras initialer, inklusive WBK, BWK, WKBJ, JWKB och BWKJ. En auktoritativ diskussion och kritisk undersökning har getts av Robert B. Dingle.

Tidigare förekomster av väsentligen likvärdiga metoder är: Francesco Carlini 1817, Joseph Liouville 1837, George Green 1837, Lord Rayleigh 1912 och Richard Gans 1915. Liouville och Green kan sägas ha grundat metoden 1837, och det är kallas också ofta Liouville-Green eller LG-metoden.

Det viktiga bidraget från Jeffreys, Wentzel, Kramers och Brillouin till metoden var inkluderingen av behandlingen av vändpunkter , som förbinder de flyktiga och oscillerande lösningarna på vardera sidan av vändpunkten. Till exempel kan detta inträffa i Schrödinger-ekvationen, på grund av en potentiell energikulle .

Formulering

I allmänhet är WKB-teori en metod för att approximera lösningen av en differentialekvation vars högsta derivata multipliceras med en liten parameter $ε$ . Metoden för approximation är som följer.

För en differentialekvation

\varepsilon {\frac { d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x ){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,

anta en lösning i form av en asymptotisk serieexpansion

y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _ {n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]

i gränsen $δ \to 0$ . Den asymptotiska skalningen av $δ$ i termer av $ε$ kommer att bestämmas av ekvationen – se exemplet nedan.

Genom att ersätta ovanstående ansatz i differentialekvationen och ta bort exponentialtermerna kan man lösa ett godtyckligt antal termer $S n (x)$ i expansionen.

WKB-teori är ett specialfall av multipelskalaanalys .

Ett exempel

Detta exempel kommer från texten av Carl M. Bender och Steven Orszag . Betrakta andra ordningens homogena linjära differentialekvation

\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,

där $Q(x)\neq 0$ . Ersätter

y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{ n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]

resulterar i ekvationen

\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty}\delta ^{n}S_ {n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\summa _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right ]=Q(x).

Till ledande ordning (förutsatt att serien för närvarande kommer att vara asymptotiskt konsekvent), kan ovanstående approximeras som

{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }} S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x).

I gränsen $δ \to 0 ,$ ges den dominerande balansen av

{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x).

Så $δ$ är proportionell mot ε . Att sätta dem lika och jämföra krafter ger

\epsilon ^{0}:\quad S_{0}'^{2}=Q(x),

som kan kännas igen som den eikonala ekvationen , med lösning

S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.

Med tanke på första ordningens krafter hos $ε-$ fixar

\epsilon ^{1}:\quad 2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0.

Detta har lösningen

S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{ 1},

där $k 1$ är en godtycklig konstant.

Vi har nu ett par approximationer till systemet (ett par, eftersom $S 0$ kan ta två tecken); första ordningens WKB-approximation kommer att vara en linjär kombination av de två:

y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _ {x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\ exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right].

Termer av högre ordning kan erhållas genom att titta på ekvationer för högre potenser av $δ$ . Explicit,

2S_{0}'S_{n}'+S''_{n- 1}+\summa _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{nj}=0

för $n$ ≥ 2.

Precision av den asymptotiska serien

Den asymptotiska serien för $y (x)$ är vanligtvis en divergerande serie , vars allmänna term $δ n S n (x)$ börjar öka efter ett visst värde $n = n max$ . Därför är det minsta felet som uppnås med WKB-metoden i bästa fall av storleksordningen för den senast inkluderade termen.

För ekvationen

\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,

med $Q(x)$ <0 en analytisk funktion, kan värdet $n_{\max }$ och storleken på den sista termen uppskattas enligt följande:

n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}} \,dz\right|,

\delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max } }(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],

där $x_{0}$ är den punkt där $y(x_{0})$ måste utvärderas och $x_{\ast }$ är (komplexet ) vändpunkt där $Q(x_{\ast })=0$ , närmast $x=x_{0}$ .

Antalet $n max$ kan tolkas som antalet svängningar mellan $x_{0}$ och den närmaste vändpunkten.

Om $\epsilon ^{-1}Q(x)$ är en funktion som förändras långsamt,

\epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might vara }}Q^{3/2}{\text{?]}}}

antalet $n max$ kommer att vara stort, och det minsta felet för den asymptotiska serien kommer att vara exponentiellt litet.

Tillämpning på Schrödinger-ekvationen

WKB approximation till den angivna potentialen. Vertikala linjer visar vändpunkterna

Sannolikhetstäthet för den ungefärliga vågfunktionen. Vertikala linjer visar vändpunkterna

Ovanstående exempel kan tillämpas specifikt på den endimensionella, tidsoberoende Schrödinger-ekvationen ,

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{ \frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),

som kan skrivas om som

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)- E\höger)\Psi (x).

Approximation bort från vändpunkterna

Vågfunktionen kan skrivas om som exponential för en annan funktion $Φ$ (nära relaterad till handlingen ), som kan vara komplex,

\Psi (x)=e^{\Phi (x)},

så att

\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right ]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),

där $Φ$ ' indikerar derivatan av $Φ$ med avseende på x . Denna derivata $Φ$ ' kan separeras i reella och imaginära delar genom att introducera de reella funktionerna A och B ,

\Phi '(x)=A(x)+iB(x).

Vågfunktionens amplitud är då

\exp \left[\int _{x_{0}}^{x}A(x')\,dx'\right],

medan fasen är

\int _{x_{0}}^{x}B(x')\,dx'.

De verkliga och imaginära delarna av Schrödinger-ekvationen blir då

A'(x)+A(x)^{2}-B (x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),

B'(x)+2A(x)B(x)=0.

Därefter används den semiklassiska approximationen. Detta innebär att varje funktion utökas som en potensserie i $ħ$ . Från ovanstående ekvationer kan man se att potensserien måste börja med minst en ordning på 1/ $ħ$ för att tillfredsställa den reella delen av ekvationen:

A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x),

B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x).

Till nollte ordningen i denna expansion kan villkoren på A och B skrivas,

A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}= 2m\vänster(V(x)-E\höger),

A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;.

De första derivatorna $A'(x)$ och $B'(x)$ förkastades, eftersom de inkluderar faktorer av ordningen 1/ $ħ$ , högre än den dominanta $ħ$ ⁻² .

Sedan, om amplituden varierar tillräckligt långsamt jämfört med fasen ( $A_{0}(x)=0$ ), följer det att

B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(EV(x)\right)}},

vilket endast är giltigt när den totala energin är större än den potentiella energin, vilket alltid är fallet i klassisk rörelse .

Efter samma procedur på nästa order av expansionen följer det

\Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{\theta +i\int \hbar ^{-1}{\sqrt {2m\left(EV(x)\right)} }\,dx}}{\hbar ^{-1/2}{\sqrt[{4}]{2m\left(EV(x)\right)}}}}.

Å andra sidan, om det är fasen som varierar långsamt (jämfört med amplituden), ( $B_{0}(x)=0$ ) så

A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}},

vilket endast är giltigt när den potentiella energin är större än den totala energin (regimen där kvanttunnelering sker).

Att hitta nästa ordning av expansionsutbytet, som i exemplet i föregående avsnitt,

$\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{\int \hbar ^{-1}{\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\ ,dx}+C_{-}e^{-\int \hbar ^{-1}{\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}\,dx}}{\hbar ^{ -1/2}{\sqrt[{4}]{2m\left(V(x)-E\right)}}}}.$

I det klassiskt tillåtna området, nämligen området där $V(x)<E$ är integranden i exponenten imaginär och den ungefärliga vågfunktionen är oscillerande. I det klassiskt förbjudna området $V(x)>E$ växer eller förfaller lösningarna. Det är uppenbart i nämnaren att båda dessa ungefärliga lösningar blir singulära nära de klassiska vändpunkterna , där $E = V(x) ,$ och kan inte vara giltiga. (Vändpunkterna är de punkter där den klassiska partikeln ändrar riktning.)

Beteende nära vändpunkterna

Vi betraktar nu vågfunktionens beteende nära vändpunkterna. För detta behöver vi en annan metod. Nära de första vändpunkterna, $x$ ₁ , termen ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E \right)$ kan utökas i en potensserie,

{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2} \cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.

Till första beställning finner man

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).

Denna differentialekvation är känd som den luftiga ekvationen , och lösningen kan skrivas i termer av luftiga funktioner ,

\Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right )+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right).

om vågfunktionen för alla fasta värden på ${\displaystyle \hbar } är begränsad nära vändpunkterna, kommer vågfunktionen att nå sin topp där, vilket kan ses på bilderna ovan.$ När $\hbar$ blir mindre, växer höjden på vågfunktionen vid vändpunkterna.

Matchningsvillkoren

Det återstår nu att konstruera en global (ungefärlig) lösning på Schrödinger-ekvationen. För att vågfunktionen ska vara kvadratintegrerbar måste vi bara ta den exponentiellt sönderfallande lösningen i de två klassiskt förbjudna regionerna. Dessa måste sedan "ansluta" ordentligt genom vändpunkterna till den klassiskt tillåtna regionen. För de flesta värden på E kommer inte denna matchningsprocedure att fungera: Funktionen som erhålls genom att koppla lösningen nära $+\infty$ till den klassiskt tillåtna regionen kommer inte att överensstämma med funktionen som erhålls genom att koppla lösningen nära $-\infty$ till den klassiskt tillåtna regionen. Kravet att de två funktionerna överensstämmer ställer ett villkor för energin E , som ger en approximation till de exakta kvantenerginivåerna.

Givet de två koefficienterna på ena sidan av den klassiska vändpunkten, kan de 2 koefficienterna på den andra sidan av den klassiska vändpunkten bestämmas genom att använda Airy-funktionen för att koppla ihop dem. Således kan ett samband mellan $C_{0},\theta$ och $C_{+},C_{-}$ hittas. Detta förhållande erhålls genom att använda känd asymptotisk av Airy-funktionen. Relationen kan ses vara som följer (ofta kallad "kopplingsformler"):

C_{+}=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\ frac {\pi }{4}}\right)},

C_{-}=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}.

Nu kan de globala (ungefärliga) lösningarna konstrueras. Samma sak kan göras vid de andra vändpunkterna; anta att det bara finns en till, $x$ ₂ . Uttrycket där kommer dock att se annorlunda ut än det som bestämts ovan vid $x$ ₁ genom en skillnad i argumentet för dessa trigonometriska funktioner.

Matchningsvillkoret, som behövs för att få en envärdig, kvadratintegrerbar ungefärlig lösning, har följande form:

\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(EV(x)\höger)}}\,dx=(n+1/2)\pi \hbar ,

där $x_{1},x_{2}$ är vändpunkterna för den diskuterade potentialen, där integranden försvinner. Här n ett icke-negativt heltal. Detta villkor kan också skrivas om till att säga det

Området som omges av den klassiska energikurvan är

2\pi \hbar (n+1/2)

.

Hur som helst är villkoret för energin en version av Bohr–Sommerfeld kvantiseringsvillkoret , med en " Maslov-korrigering " lika med 1/2.

Det är möjligt att visa att efter att ha sammanfogat approximationerna i de olika regionerna får man en bra approximation till den faktiska egenfunktionen. I synnerhet är de Maslov-korrigerade Bohr-Sommerfeld-energierna bra approximationer till de faktiska egenvärdena för Schrödinger-operatorn. Specifikt är felet i energierna litet jämfört med det typiska avståndet mellan kvantenerginivåerna. Således, även om den "gamla kvantteorin" av Bohr och Sommerfeld till slut ersattes av Schrödinger-ekvationen, finns en del kvar av den teorin, som en approximation till egenvärdena för den lämpliga Schrödinger-operatorn.

Sannolikhetstätheten

Man kan sedan beräkna sannolikhetstätheten associerad med den ungefärliga vågfunktionen. Sannolikheten att kvantpartikeln kommer att finnas i det klassiskt förbjudna området är liten. I den klassiskt tillåtna regionen är sannolikheten att kvantpartikeln kommer att hittas i ett givet intervall ungefär den bråkdel av tid som den klassiska partikeln tillbringar i det intervallet under en rörelseperiod. Eftersom den klassiska partikelns hastighet går till noll vid vändpunkterna, tillbringar den mer tid nära vändpunkterna än i andra klassiskt tillåtna regioner. Denna observation står för toppen i vågfunktionen (och dess sannolikhetstäthet) nära vändpunkterna.

Tillämpningar av WKB-metoden på Schrödinger-ekvationer med en stor variation av potentialer och jämförelse med störningsmetoder och vägintegraler behandlas i Müller-Kirsten.

Se även

Moderna referenser

Bender, Carl ; Orszag, Steven (1978). Avancerade matematiska metoder för vetenskapsmän och ingenjörer . McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
Child, MS (1991). Semiklassisk mekanik med molekylära tillämpningar . Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-855654-3 .
Griffiths, David J. (2004). Introduktion till kvantmekanik (2:a upplagan) . Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7 .
Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians , Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
Liboff, Richard L. (2003). Inledande kvantmekanik (4:e upplagan) . Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5 .
Olver, Frank William John (1974). Asymptotik och specialfunktioner . Akademisk press. ISBN 0-12-525850-X .
Razavy, Mohsen (2003). Quantum Theory of Tunneling . World Scientific. ISBN 981-238-019-1 .
Sakurai, JJ (1993). Modern kvantmekanik . Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2 .

Historiska referenser

Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero . Milano.
Liouville, Joseph (1837). "Sur le développement des fonctions et series.". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 :16–35.
Green, George (1837). "Om vågornas rörelse i en variabel kanal med litet djup och bredd". Transaktioner från Cambridge Philosophical Society . 6 : 457-462.
Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). "Om vågornas utbredning genom ett skiktat medium, med särskild hänvisning till frågan om reflektion" . Kungliga sällskapets handlingar A . 86 (586): 207–226. Bibcode : 1912RSPSA..86..207R . doi : 10.1098/rspa.1912.0014 .
Gans, Richard (1915). "Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium" . Annalen der Physik . 47 (14): 709–736. Bibcode : 1915AnP...352..709G . doi : 10.1002/andp.19153521402 .
Jeffreys, Harold (1924). "Om vissa ungefärliga lösningar av linjära differentialekvationer av andra ordningen". Proceedings of the London Mathematical Society . 23 : 428-436. doi : 10.1112/plms/s2-23.1.428 .
Brillouin, Léon (1926). "La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences . 183 : 24–26.
Kramers, Hendrik A. (1926). "Wellenmechanik und halbzahlige Quantisierung". Zeitschrift für Physik . 39 (10–11): 828–840. Bibcode : 1926ZPhy...39..828K . doi : 10.1007/BF01451751 . S2CID 122955156 .
Wentzel, Gregor (1926). "Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik". Zeitschrift für Physik . 38 (6–7): 518–529. Bibcode : 1926ZPhy...38..518W . doi : 10.1007/BF01397171 . S2CID 120096571 .

externa länkar

Fitzpatrick, Richard (2002). "WKB Approximation" . (En tillämpning av WKB-approximationen på spridningen av radiovågor från jonosfären.)