Volterra operatör

Inom matematiken , inom området för funktionsanalys och operatorteori , är Volterra-operatorn , uppkallad efter Vito Volterra , en avgränsad linjär operator på utrymmet L ² [0,1] av komplext värderade kvadratintegrerbara funktioner på intervallet [0 ,1]. På delrummet C [0,1] av kontinuerliga funktioner representerar det obestämd integration . Det är operatorn som motsvarar Volterras integralekvationer .

Definition

Volterra-operatorn, V , kan definieras för en funktion f ∈ L ² [0,1] och ett värde t ∈ [0,1], som

V(f)(t)=\int _{0}^{t}f(s)\,ds.

V är en avgränsad linjär operator mellan Hilbert-utrymmen , med Hermitisk adjoint $V^{*}(f)(t)=\int _{t}^{1}f(s)\,ds.$
V är en Hilbert-Schmidt-operatör , och är därför i synnerhet kompakt .
V har inga egenvärden och därför, enligt spektralteorin för kompakta operatorer , dess spektrum σ ( V ) = {0}.
V är en kvasinilpotent operator (det vill säga spektralradien , ρ ( V ) , är noll), men den är inte nilpotent .
Operatornormen för V är exakt || V || = ² ⁄ _π .

Gohberg, Israel; Krein, MG (1970). Teori och tillämpningar av Volterra-operatörer i Hilbert Space . Providence: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3627-7 .