Vitali–Caratheodorys sats

Inom matematiken är Vitali –Carathéodory-satsen ett resultat i verklig analys som visar att, under de villkor som anges nedan, integrerbara funktioner kan approximeras i L ¹ uppifrån och underifrån av nedre respektive övre halvkontinuerliga funktioner. Den är uppkallad efter Giuseppe Vitali och Constantin Carathéodory .

Uttalande av satsen

Låt X vara ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme utrustat med ett Borel-mått , µ, som är ändligt på varje kompakt set , yttre regelbundet och tätt när det är begränsat till alla Borel-set som är öppet eller med ändlig massa. Om f är ett element av L ^{1 (µ) så} finns det för varje ε > 0 funktioner u och v på X så att u ≤ f ≤ v , u är övre halvkontinuerlig och avgränsad ovan, v är nedre halvkontinuerlig och avgränsad nedan, och

$\int _{X}(vu)\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon .$

•   Rudin, Walter (1986). Verklig och komplex analys (tredje upplagan). McGraw-Hill. s. 56–57. ISBN 978-0-07-054234-1 .