Vinklar mellan lägenheter

Konceptet med vinklar mellan linjer i planet och mellan par av två linjer, två plan eller en linje och ett plan i rymden kan generaliseras till godtycklig dimension . Denna generalisering diskuterades först av Jordanien . För vilket par av lägenheter som helst i ett euklidiskt utrymme av godtycklig dimension kan man definiera en uppsättning ömsesidiga vinklar som är invarianta under isometrisk transformation av det euklidiska rummet. Om lägenheterna inte korsar varandra är deras kortaste avstånd ytterligare ett invariant. Dessa vinklar kallas kanoniska eller principiella . Begreppet vinklar kan generaliseras till par av lägenheter i ett ändligt dimensionellt inre produktutrymme över de komplexa talen .

Jordans definition

Låt $F$ och $G$ vara plattor med dimensionerna $k$ och $l$ i det $n$ -dimensionella euklidiska rymden $E^ {n}$ . Per definition ändrar inte en översättning av $F$ eller $G$ deras inbördes vinklar. Om $F$ och $G$ inte skär varandra, kommer de att göra det vid varje översättning av $G$ som mappar någon punkt i $G$ till någon punkt i ${\ displaystil F}$ . Det kan därför utan förlust av allmänhet antas att $F$ och $G$ skär varandra.

Jordan visar att kartesiska koordinater $x_{1},\dots ,x_{\rho },$$y_{1},\dots , y_{\sigma },$$z_{1},\dots ,z_{\tau },$$u_{1},\ dots ,u_{\upsilon },$$v_{1},\dots ,v_{\alpha },$$w_{1}, \dots ,w_{\alpha }$ i $E^{n}$ kan sedan definieras så att $F$ respektive $G$ beskrivs av ekvationsmängderna

$x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,$

$u_{1}= 0,\dots ,u_{\upsilon }=0,$

$v_{1}=0,\dots ,v_{\alpha }=0$

och

$x_{1}=0,\dots ,x_{\rho }=0,$

$z_{1}= 0,\dots ,z_{\tau }=0,$

$v_{ 1}\cos \theta _{1}+w_{1}\sin \theta _{1}=0,\dots ,v_{\alpha }\cos \theta _{\alpha }+w_{\alpha }\ sin \theta _{\alpha }=0$

med $0<\theta _{i}<\pi /2,i=1,\dots ,\alpha$ . Jordan kallar dessa koordinater kanoniska . Per definition är vinklarna $i}}$ { vinklarna mellan $F$ och $G$ .

De icke-negativa heltalen $\rho ,\sigma ,\tau ,\upsilon ,\alpha$ begränsas av

$\rho +\sigma +\tau +\upsilon +2\alpha =n,$

$\sigma +\ tau +\alpha =k,$

$\sigma +\upsilon +\alpha =\ell .$

För att dessa ekvationer ska bestämma de fem icke-negativa heltal helt, förutom dimensionerna $n,k$ och $\ell$ och antalet $\alpha$ av vinklar ${\ displaystyle \theta _{i}} måste$ det icke-negativa heltal $\sigma$ anges. Detta är antalet koordinater $y_{i}$ , vars motsvarande axlar är de som ligger helt inom både $F$ och $G$ . Heltalet $\sigma$ är alltså dimensionen för $F\cap G$ . Uppsättningen av vinklar $\theta _{i}$ kan kompletteras med $\sigma$ vinklar $0$ för att indikera att $F\cap G$ har den dimensionen .

Jordans bevis gäller i huvudsak oförändrat när $E^{n}$ ersätts med det $n$ -dimensionella inre produktutrymmet $\mathbb {C} ^{n}$ över komplexet tal. (För vinklar mellan delrum diskuteras generaliseringen till ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} av Galántai och Hegedũs i termer av nedanstående$ variationskarakterisering .)

Vinklar mellan delrum

Låt nu $F$ och $G$ vara delrum till det $n$ -dimensionella inre produktutrymmet över de reella eller komplexa talen. Geometriskt sett $F$ och $G$ platta, så Jordans definition av inbördes vinklar gäller. När för någon kanonisk koordinat $\xi$ symbolen ${\hat {\xi }}$ betecknar enhetsvektorn för $\xi$ -axeln, vektorerna ${\displaystyle {\hat {y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },} w ^$$displaystyle {\hat {w}}_{1},\dots ,{\hat {w}}_{\alpha },}$${\hat {z}}_{ 1},\dots ,{\hat {z}}_{\tau }$ bildar en ortonormal bas för $F$ och vektorerna ${\hat { y}}_{1},\dots ,{\hat {y}}_{\sigma },$${\hat {w}}'_{ 1},\dots ,{\hat {w}}'_{\alpha },$${\hat {u}}_{1},\dots ,{\ hatt {u}}_{\upsilon }$ utgör en ortonormal grund för $G$ , där

${\hat {w}}'_{i}={\hat {w}}_{i}\cos \theta _{i}+{\hat {v}}_{i}\sin \ theta _{i},\quad i=1,\dots ,\alpha .$

Eftersom de är relaterade till kanoniska koordinater, kan dessa grundläggande vektorer kallas kanoniska .

När $a_{i},i=1,\dots ,k$ betecknar de kanoniska grundvektorerna för $F$ och $b_{i},i=1,\dots ,l$ de kanoniska grundvektorerna för $G$ sedan den inre produkten $\langle a_{i}, b_{j}\rangle$ försvinner för alla par av $i$ och $j$ förutom följande.

${\begin{aligned}&\langle {\hat {y}}_{i},{\hat {y}}_{i}\rangle =1,&&i=1,\dots ,\sigma , \\&\langle {\hat {w}}_{i},{\hat {w}}'_{i}\rangle =\cos \theta _{i},&&i=1,\dots ,\alpha .\end{aligned}}$

Med ovanstående ordning av grundvektorerna är matrisen för de inre produkterna $\langle a_{i},b_{j}\rangle$ alltså diagonal . Med andra ord, om $(a'_{i},i=1,\dots ,k)$ och $(b'_{i},i=1,\dots ,\ell )$ är godtyckliga ortonormala baser i $F$ och $G$ sedan den reella, ortogonala eller enhetliga transformationer från basen $(a'_{i})$ till basen $(a_{i})$ och från basen $(b'_{i})$ till basen $(b_{i})$ realisera en singulär värdenedbrytning av matrisen av inre produkter $\ langle a'_{i},b'_{j}\rangle$ . De diagonala matriselementen $\langle a_{i},b_{i}\rangle$ är singularvärdena för den senare matrisen. Genom det unika med singularvärdesuppdelningen är vektorerna ${\hat {y}}_{i}$ sedan unika upp till en reell, ortogonal eller enhetlig transformation bland dem, och vektorerna ${\hat {w}}_{i}$ och ${\hat {w}}'_{i}$ (och därav ${\hat {v }}_{i}$ ) är unika upp till lika reella, ortogonala eller enhetliga transformationer som tillämpas samtidigt på uppsättningarna av vektorerna ${\hat {w}}_{i}$ associerade med ett gemensamt värde av $\theta _{i}$ och till motsvarande uppsättningar av vektorer ${\hat {w}}'_{i}$ (och därmed till motsvarande uppsättningar av ${\hat {v}}_{i}$ ).

Ett singularvärde $1$ kan tolkas som $\cos \,0$ som motsvarar vinklarna $0$ som introducerats ovan och associeras med $F\cap G$ och en singularvärde $0$ kan tolkas som $\cos \pi /2$ som motsvarar räta vinklar mellan de ortogonala utrymmena $F\cap G^{\bot }$ och $F^{\bot }\cap G$ , där upphöjd $\bot$ anger det ortogonala komplementet .

Variationskaraktärisering

Variationskarakteriseringen av singulära värden och vektorer innebär som ett specialfall en variationskarakterisering av vinklarna mellan delrum och deras associerade kanoniska vektorer . Denna karaktärisering inkluderar vinklarna $0$ och $\pi /2$ som introducerats ovan och ordnar vinklarna genom att öka värdet. Det kan ges formen av nedanstående alternativa definition. I detta sammanhang är det vanligt att tala om huvudvinklar och vektorer.

Definition

Låt $V$ vara ett inre produktutrymme. Givet två delrum ${\mathcal {U}},{\mathcal {W}}$ med ${\displaystyle \dim({\ mathcal {U}})=k\leq \dim({\mathcal {W}}):=\ell } , det finns då$ en sekvens av $k$ vinklar ${\displaystyle 0\leq \theta _{1}\leq \theta _{2}\leq \cdots \leq \theta _{k}\leq \pi /2} kallas de huvudsakliga vinklarna$ , första definieras som

$\theta _{1}:=\min \left\{\arccos \left(\left.{\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\|}}\right)\,\right|\,u\i {\mathcal {U}},w\in {\mathcal {W} }\right\}=\angle (u_{1},w_{1}),$

där $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ är den inre produkten och $\|\cdot \|$ den inducerade normen . Vektorerna $u_{1}$ och $w_{1}$ är motsvarande huvudvektorer.

De andra huvudvinklarna och vektorerna definieras sedan rekursivt via

$\theta _{i}:=\min \left\{\left.\arccos \left({\frac {|\langle u,w\rangle |}{\|u\|\|w\| }}\right)\,\right|\,u\in {\mathcal {U}},~w\in {\mathcal {W}},~u\perp u_{j},~w\perp w_{ j}\quad \forall j\in \{1,\ldots ,i-1\}\right\}.$

Detta betyder att de huvudsakliga vinklarna $(\theta _{1},\ldots ,\theta _{k})$ bildar en uppsättning minimerade vinklar mellan de två delrummen, och huvudvektorer i varje delrum är ortogonala mot varandra.

Exempel

Geometriskt exempel

Geometriskt sett är delrum plattor (punkter, linjer, plan etc.) som inkluderar origo, vilket innebär att två valfria delrum skär åtminstone i origo. Två tvådimensionella delrum ${\mathcal {U}}$ och ${\mathcal {W}}$ genererar en uppsättning av två vinklar. I ett tredimensionellt euklidiskt rum är delrymden ${\mathcal {U}}$ och ${\mathcal {W}}$ antingen identiska, eller så bildar deras skärningspunkt en linje. I det förra fallet är både $\theta _{1}=\theta _{2}=0$ . I det senare fallet är endast $\theta _{1}=0$ , där vektorerna $u_{1}$ och $w_{1}$ är på raden av skärningspunkten ${\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}$ och har samma riktning. Vinkeln $\theta _{2}>0$ blir vinkeln mellan delrymden ${\mathcal {U}}$ och ${\mathcal {W}}$ i det ortogonala komplementet till ${\mathcal {U}}\cap {\mathcal {W}}$ . När man föreställer sig vinkeln mellan två plan i 3D, tänker man intuitivt på den största vinkeln, $\theta _{2}>0$ .

Algebraiskt exempel

I det 4-dimensionella reella koordinatutrymmet R ⁴ , låt det tvådimensionella delrummet ${\mathcal {U}}$ sträckas av $u_{1}=(1 ,0,0,0)$ och $u_{2}=(0,1,0,0)$ , och låt det tvådimensionella delrummet ${\ mathcal {W}}$ spännas av $w_{1}=(1,0,0,a)/{\sqrt {1+a^ {2}}}$ och $w_{2}=(0,1,b,0)/{\sqrt {1+b^{2 }}}$ med några riktiga $a$ och $b$ så att $|a|<|b|$ . Då $u_{1}$ och $w_{1}$ i själva verket det par av huvudvektorer som motsvarar vinkeln $\theta _{1}$ med $\cos(\theta _{1})=1/{\sqrt {1+a^{2}}}$ 2 $displaystyle u_ {2}}$ och $w_{2}$ är huvudvektorerna som motsvarar vinkeln $\theta _{2}$ med $\cos(\theta _{2})=1/{\sqrt {1+b^{2}}}.$

Att konstruera ett par delrum med en given uppsättning $k$ vinklar $\theta _{1},\ldots ,\theta _{k}$ i en ${ \displaystyle 2k}$ (eller större) dimensionellt euklidiskt utrymme , ta ett delrum ${\mathcal {U}}$ med en ortonormal bas $(e_{1},\ ldots ,e_{k})$ och komplettera den till en ortonormal basis $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ i det euklidiska rummet, där $n\geq 2k$ . Sedan är en ortonormal bas för det andra delutrymmet ${\displaystyle {\mathcal {W}}} t.ex.$

$(\cos(\theta _{1})e_{1}+\sin(\theta _{1})e_{k+1},\ldots ,\cos(\theta _{k})e_ {k}+\sin(\theta _{k})e_{2k}).$

Grundläggande egenskaper

• Om den största vinkeln är noll är ett delrum en delmängd av det andra.
• Om den största vinkeln är $\pi /2$ , finns det minst en vektor i ett delrum vinkelrätt mot det andra delrummet.
• Om den minsta vinkeln är noll, skär delrummen åtminstone i en linje.
• Om den minsta vinkeln är $\pi /2$ är delrummen ortogonala.
• Antalet vinklar lika med noll är dimensionen av utrymmet där de två delrummen skär varandra.

Avancerade egenskaper

• Icke-triviala (till skillnad från $0$ och $\pi /2$ ) vinklar mellan två delrum är desamma som de icke-triviala vinklarna mellan deras ortogonala komplement.
• Icke-triviala vinklar mellan delrymden ${\mathcal {U}}$ och ${\mathcal {W}}$ och motsvarande icke-triviala vinklar mellan delrymden ${\mathcal { U}}$ och ${\mathcal {W}}^{\perp }$ summerar till $\pi /2$ .
• Vinklarna mellan delrum tillfredsställer triangelolikheten i termer av majorisering och kan således användas för att definiera ett avstånd på mängden av alla delrum som gör mängden till ett metriskt utrymme .
• Sinusen för vinklarna mellan delrum tillfredsställer triangelolikheten i termer av majorisering och kan således användas för att definiera ett avstånd på mängden av alla delrum som gör mängden till ett metriskt rum . Till exempel sinus för den största vinkeln känt som ett gap mellan delrum.

Tillägg

Föreställningen om vinklarna och vissa av variationsegenskaperna kan naturligt utvidgas till godtyckliga inre produkter och delrum med oändliga dimensioner .

Beräkning

Historiskt sett uppträder de huvudsakliga vinklarna och vektorerna först i samband med kanonisk korrelation och beräknades ursprungligen med hjälp av SVD för motsvarande kovariansmatriser . Men, som först noterades i, är den kanoniska korrelationen relaterad till cosinus för huvudvinklarna, vilket är dåligt konditionerat för små vinklar, vilket leder till mycket felaktig beräkning av högkorrelerade huvudvektorer i datoraritmetik med ändlig precision . Den sinusbaserade algoritmen fixar detta problem, men skapar ett nytt problem med mycket felaktig beräkning av mycket okorrelerade huvudvektorer, eftersom sinusfunktionen är dåligt konditionerad för vinklar nära π /2. För att producera korrekta huvudvektorer i datoraritmetik för hela området av huvudvinklarna, beräknar den kombinerade tekniken först alla huvudvinklar och vektorer med den klassiska cosinusbaserade metoden, och beräknar sedan om huvudvinklarna som är mindre än π /4 och motsvarande principal. vektorer med den sinusbaserade metoden. Den kombinerade tekniken är implementerad i öppen källkodsbibliotek Octave och SciPy och bidragit och till MATLAB .

Se även

• Singulärvärdesfaktorisering
• Kanonisk korrelation