Vertikal tryckvariation

Vertikal tryckvariation är variationen i trycket som en funktion av höjden . Beroende på vilken vätska det är fråga om och det sammanhang som det refereras till, kan den också variera avsevärt i dimensioner vinkelräta mot höjden också, och dessa variationer har relevans i samband med tryckgradientkraft och dess effekter. Den vertikala variationen är dock särskilt betydande, eftersom den är ett resultat av tyngdkraften på vätskan; nämligen, för samma givna vätska, motsvarar en minskning av höjden inom den en högre kolonn av vätska som tynger den punkten.

Grundformel

En relativt enkel version av den vertikala vätsketrycksvariationen är helt enkelt att tryckskillnaden mellan två höjder är produkten av höjdförändring, gravitation och densitet . Ekvationen är som följer:

{\frac {dP}{dh}}=-\rho g,

var

$P$ är tryck,
$ρ$ är densitet,
$g$ är gravitationsacceleration , och
$h$ är höjd.

Deltasymbolen indikerar en förändring i en given variabel. Eftersom $g$ är negativt kommer en höjdökning att motsvara en tryckminskning, vilket stämmer överens med det tidigare nämnda resonemanget om vikten av en vätskepelare.

₀ När densiteten och tyngdkraften är ungefär konstanta (det vill säga för relativt små höjdförändringar), kommer helt enkelt att multiplicera höjdskillnaden, tyngdkraften och densiteten att ge en bra approximation av tryckskillnaden. Om trycket vid en punkt i en vätska med likformig densitet ρ är känt för att vara P, då är trycket vid en annan punkt P ₁ :

P_{1}=P_{0}-\rho g(h_{1}-h_{0})

₀ där h ₁ - h är det vertikala avståndet mellan de två punkterna.

När olika vätskor är skiktade ovanpå varandra, skulle den totala tryckskillnaden erhållas genom att addera de två tryckskillnaderna; den första är från punkt 1 till gränsen, den andra är från gränsen till punkt 2; vilket bara skulle innebära att ersätta $ρ-$ och $Δh -$ värdena för varje vätska och ta summan av resultaten. Om vätskans densitet varierar med höjden skulle matematisk integration krävas.

Huruvida densitet och gravitation rimligtvis kan approximeras som konstant beror på vilken noggrannhet som behövs , men också på längdskalan för höjdskillnaden, eftersom gravitationen och densiteten också minskar med högre höjd. Speciellt för densitet är vätskan i fråga också relevant; havsvatten , till exempel, anses vara en inkompressibel vätska ; dess densitet kan variera med höjden, men mycket mindre än luftens. Sålunda kan vattnets densitet mer rimligt approximeras som konstant än luftens, och givet samma höjdskillnad är tryckskillnaderna i vatten ungefär lika på vilken höjd som helst.

Hydrostatisk paradox

Diagram som illustrerar den hydrostatiska paradoxen

Den barometriska formeln beror bara på höjden på vätskekammaren och inte på dess bredd eller längd. Givet en tillräckligt stor höjd kan vilket tryck som helst uppnås. Denna egenskap hos hydrostatiken har kallats den hydrostatiska paradoxen . Som uttryckt av WH Besant ,

Vilken mängd vätska som helst, hur liten den än är, kan göras för att bära vilken vikt som helst, hur stor som helst.

Den holländska vetenskapsmannen Simon Stevin var den första som förklarade paradoxen matematiskt. 1916 Richard Glazebrook den hydrostatiska paradoxen när han beskrev ett arrangemang som han tillskrev Pascal : en tung vikt $W$ vilar på en bräda med area $A$ vilande på en vätskeblåsa ansluten till ett vertikalt rör med tvärsnittsarea α. Att hälla viktvatten $i$ röret kommer så småningom att höja den tunga vikten. Kraftbalans leder till ekvationen

W={\frac {wA}{\alpha }}.

Glazebrook säger: "Genom att göra brädans yta avsevärd och rörets liten, kan en stor vikt $W$ stödjas av en liten vikt $w$ vatten. Detta faktum beskrivs ibland som den hydrostatiska paradoxen."

Demonstrationer av den hydrostatiska paradoxen används för att lära ut fenomenet.

I sammanhanget av jordens atmosfär

Om man ska analysera den vertikala tryckvariationen i jordens atmosfär är längdskalan mycket betydande ( troposfären är ensam flera kilometer hög, termosfären är flera hundra kilometer) och den involverade vätskan (luften) är komprimerbar. Tyngdkraften kan fortfarande rimligen uppskattas som konstant, eftersom längdskalor i storleksordningen kilometer fortfarande är små i jämförelse med jordens radie, som i genomsnitt är cirka 6371 km, och gravitationen är en funktion av avståndet från jordens kärna.

Densiteten, å andra sidan, varierar mer avsevärt med höjden. Det följer av idealgaslagen att

\rho ={\frac {mP}{kT}},

var

$m$ är medelmassa per luftmolekyl ,
$P$ är tryck vid en given punkt,
$k$ är Boltzmann-konstanten ,
$T$ är temperaturen i kelvin .

Enkelt uttryckt beror luftdensiteten på lufttrycket. Med tanke på att lufttrycket också beror på luftdensiteten skulle det vara lätt att få intrycket att detta var cirkulär definition , men det är helt enkelt ett ömsesidigt beroende av olika variabler. Detta ger sedan en mer exakt formel, av formen

P_{h}=P_{0}e^{-{\frac {mgh}{kT}}},

var

$P h$ är trycket på höjd $h$ ,
$P 0$ är trycket vid referenspunkt 0 (vanligtvis hänvisande till havsnivån),
$m$ är massan per luftmolekyl,
$g$ är accelerationen på grund av gravitationen ,
$h$ är höjd från referenspunkt 0,
$k$ är Boltzmann-konstanten ,
$T$ är temperaturen i kelvin.

Därför, istället för att trycket är en linjär funktion av höjden som man kan förvänta sig av den enklare formeln som ges i avsnittet "grundformel", representeras det mer exakt som en exponentiell funktion av höjden.

Observera att i denna förenkling behandlas temperaturen som konstant, även om temperaturen också varierar med höjden. Temperaturvariationen inom de lägre skikten av atmosfären ( troposfären , stratosfären ) är dock bara i dussintals grader, i motsats till deras termodynamiska temperatur , som är i hundratal, så temperaturvariationen är rimligt liten och ignoreras därför. För mindre höjdskillnader, inklusive de från topp till botten av även de högsta av byggnader, (som CN-tornet ) eller för berg av jämförbar storlek, kommer temperaturvariationen lätt att ligga inom ensiffrigt tal. (Se även förfallofrekvens .)

En alternativ härledning, visad av Portland State Aerospace Society, används för att ge höjden som en funktion av trycket istället. Detta kan tyckas kontraintuitivt, eftersom tryck beror på höjd snarare än tvärtom, men en sådan formel kan vara användbar för att hitta höjd baserat på tryckskillnad när man känner till den senare och inte den förra. Olika formler presenteras för olika typer av approximationer; för jämförelse med den föregående formeln kommer den första som hänvisas till från artikeln att vara den som tillämpar samma konstanttemperaturapproximation; i vilket fall:

z=-{\frac {RT}{g}}\ln {\frac {P}{P_{0}}}

var (med värden som används i artikeln)

$z$ är höjden i meter,
$R$ är den specifika gaskonstanten = 287,053 J/(kg K)
$T$ är den absoluta temperaturen i kelvin = 288,15 K vid havsnivån,
$g$ är tyngdaccelerationen = 9,806 65 m/s ² vid havsnivån,
$P$ är trycket vid en given punkt på höjd $z$ i Pascals , och
$P 0$ är trycket vid referenspunkten = 101 325 Pa vid havsnivån.

En mer generell formel härledd i samma artikel står för en linjär temperaturförändring som en funktion av höjden (förloppshastighet), och reduceras till över när temperaturen är konstant:

z={\frac {T_{0}}{L}}\left(\left({\frac {P}{P_{0 }}}\right)^{-{\frac {LR}{g}}}-1\right)

var

$L$ är atmosfärens förfallohastighet (förändring i temperatur dividerat med avstånd) = −6,5 × 10 ⁻³ K/m , och
$T 0$ är temperaturen vid samma referenspunkt för vilken $P = P 0$

och de andra kvantiteterna är desamma som ovan. Detta är den rekommenderade formeln att använda.

Se även

Merlino, Robert L. (2003). "Statik – Vätskor i vila" . Hämtad 2014-11-20 .