Verklig ranking (C*-algebror)

I matematik är den verkliga rangordningen för en C*-algebra en icke-kommutativ analog av Lebesgues täckande dimension . Begreppet introducerades först av Lawrence G. Brown och Gert K. Pedersen.

Definition

₀₀ Den verkliga rangordningen för en enhetlig C*-algebra A är det minsta icke-negativa heltal n , betecknat RR( A ), så att för varje ( n + 1)-tuppel ( x , x ₁ , ... , x _n ) av självanslutande element av A och varje ε > 0, finns det en ( n + 1)-tuppel ( y , y ₁ , ... , y _n ) av självanslutande element av A så att $\sum _{i=0}^{n}y_{i}^{2}$ är inverterbar och $\lVert \sum _{i=0}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}\rVert <\varepsilon$ . Om inget sådant heltal existerar, är den verkliga rangordningen för A oändlig. Den verkliga rangordningen för en icke-enhetlig C*-algebra definieras som den verkliga rangordningen för dess enhetlighet.

Jämförelser med dimension

₀ Om X är ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme , då är RR( C ( X )) = dim( X ), där dim är den Lebesgue-täckande dimensionen för X . Som ett resultat anses verklig rangordning vara en icke-kommutativ generalisering av dimension, men verklig rangordning kan vara ganska olika jämfört med dimension. Till exempel har de flesta icke-kommutativa tori verklig rang noll, trots att de är en icke-kommutativ version av den tvådimensionella torus . För lokalt kompakta Hausdorff-utrymmen motsvarar att vara nolldimensionell att vara helt frånkopplad . Det analoga förhållandet misslyckas för C*-algebror; medan AF-algebror har reell rang noll, är det omvända falskt. Formler som håller för dimension kanske inte generaliserar för verklig rang. Till exempel antog Brown och Pedersen att RR( A ⊗ B ) ≤ RR( A ) + RR( B ), eftersom det är sant att dim( X × Y ) ≤ dim( X ) + dim( Y ). De bevisade ett specialfall att om A är AF och B har verklig rang noll, så har A ⊗ B verklig rang noll. Men i allmänhet är deras gissningar falsk, det finns C*-algebror A och B med reell rang noll så att A ⊗ B har verklig rang större än noll.

Verklig ranking noll

C*-algebror med verklig rang noll är av särskilt intresse. Per definition har en enhetlig C*-algebra reell rang noll om och endast om de inverterbara självadjuterande elementen i A är täta i de självadjointerade elementen i A . Detta tillstånd motsvarar de tidigare studerade förhållandena:

(FS) De självanslutande elementen i A med ändligt spektrum är täta i de självanslutna elementen i A .
(HP) Varje ärftlig C*-subalgebra av A har en ungefärlig identitet som består av projektioner .

Denna ekvivalens kan användas för att ge många exempel på C*-algebror med verklig rang noll inklusive AW*-algebror, Bunce –Deddens algebror och von Neumann algebror . Mer allmänt enkla enhetliga rent oändliga C*-algebror verklig rang noll inklusive Cuntz-algebrorna och Cuntz–Krieger-algebrorna. Eftersom enkla graf C*-algebra är antingen AF eller rent oändliga, har varje enkel graf C*-algebra verklig rang noll.

Att ha verklig rang noll är en egenskap som är stängd med direkta gränser , ärftliga C*-subalgebra och stark Morita-ekvivalens . I synnerhet, om A har reell rang noll, så har M _n ( A ), algebra för n × n matriser över A , reell rang noll för vilket heltal som helst n ≥ 1.