Valya algebra

I abstrakt algebra är en Valya-algebra (eller Valentina-algebra ) en icke-associativ algebra M över ett fält F vars multiplikativa binära operation g uppfyller följande axiom:

1. Skevningssymmetritillståndet _

g(A,B)=-g(B,A)

för alla $A,B\in M$ .

2. Valya-identiteten

J(g(A_{1},A_{2}),g( A_{3},A_{4}),g(A_{5},A_{6}))=0

för alla $A_{k}\in M$ , där k=1,2,...,6, och

$J(A,B,C):=g(g(A,B),C)+g(g(B,C),A)+g(g(C,A),B).$

3. Det bilinjära tillståndet

g(aA+bB,C)=ag(A,C)+bg(B,C )

för alla $A,B,C\in M$ och $a,b\in F$ .

Vi säger att M är en Valya-algebra om kommutanten för denna algebra är en Lie-subalgebra. Varje Lie-algebra är en Valya-algebra.

Det finns följande samband mellan den kommutantassociativa algebra och Valentina-algebra. Ersättningen av multiplikationen g(A,B) i en algebra M med operationen av kommutering [A,B]=g(A,B)-g(B,A), gör den till algebra $M^{(-)}$ . Om M är en kommutantassociativ algebra så är $M^{(-)}$ en Valya-algebra. En Valya-algebra är en generalisering av en Lie-algebra .

Exempel

Låt oss ge följande exempel angående Valya-algebror.

(1) Varje finit Valya-algebra är tangentalgebra för en analytisk lokal kommutant-associativ loop (Valya loop) eftersom varje finit Lie-algebra är tangentalgebra för en analytisk lokal grupp ( Lie group ). Detta är analogen till den klassiska överensstämmelsen mellan analytiska lokala grupper ( Lie-grupper ) och Lie-algebror .

(2) En bilinjär operation för de differentiella 1-formerna

\alpha =F_{k}(x)\,dx^{k},\quad \beta =G_{k }(x)\,dx^{k}

på ett symplektiskt grenrör kan införas av regeln

(\alpha ,\beta )_{0}=d\Psi (\ alfa ,\beta )+\Psi (d\alpha ,\beta )+\Psi (\alpha ,d\beta ),\,

där $(\alpha ,\beta )$ är 1-form. En uppsättning av alla icke-slutna 1-former, tillsammans med denna operation, är Lie-algebra.

Om $\alpha$ och $\beta$ är slutna 1-former, då $d\alpha =d\beta =0$ och

(\alpha ,\beta )=d\Psi (\alpha ,\beta ).\,

En uppsättning av alla slutna 1-former bildar tillsammans med denna parentes en Lie-algebra . En uppsättning av alla icke-slutna 1-former tillsammans med den bilinjära operationen $(\alpha ,\beta )$ är en Valya-algebra, och det är inte en Lie-algebra .

Se även

A. Elduque, HC Myung Mutations of alternative algebras , Kluwer Academic Publishers, Boston, 1994, ISBN 0-7923-2735-7
VT Filippov (2001) [1994], "Mal'tsev algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
MV Karasev, VP Maslov, icke-linjära Poisson-parenteser: geometri och kvantisering . American Mathematical Society, Providence, 1993.
AG Kurosh , Föreläsningar om allmän algebra. Översatt från den ryska upplagan (Moskva, 1960) av KA Hirsch. Chelsea, New York, 1963. 335 s. ISBN 0-8284-0168-3 ISBN 978-0-8284-0168-5
AG Kurosh , Allmän algebra. Föreläsningar för läsåret 1969/70 . Nauka, Moskva, 1974. (På ryska)
AI Mal'tsev , Algebraiska system. Springer, 1973. (Översatt från ryska)
AI Mal'tsev , Analytiska loopar. Matta. Sb., 36: 3 (1955) s. 569–576 (på ryska)
Schafer, RD (1995). En introduktion till icke-associativa algebror . New York: Dover Publications. ISBN 0-486-68813-5 .
VE Tarasov Quantum Mechanics of Non-Hamiltonian and Dissipative Systems. Elsevier Science, Amsterdam, Boston, London, New York, 2008. ISBN 0-444-53091-6 ISBN 9780444530912
VE Tarasov, "Quantum dissipative system: IV. Analogs of Lie algebras and groups" Teoretisk och matematisk fysik. Vol.110. Nr.2. (1997) sid. 168-178.
Zhevlakov, KA (2001) [1994], "Alternativa ringar och algebror" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press