Vaft gissning

₀₀ Vaught -förmodan är en gissning inom det matematiska fältet modellteori som ursprungligen föreslogs av Robert Lawson Vaught 1961. Den anger att antalet räknebara modeller av en komplett teori av första ordningen i ett räknebart språk är ändligt eller ℵ eller 2 ^{ℵ ₀} . Morley visade att antalet räknebara modeller är ändligt eller ℵ eller ℵ ₁ eller 2 ^{ℵ ₀} , vilket löser gissningen förutom fallet med ℵ ₁ -modeller när kontinuumhypotesen misslyckas. För detta återstående fall har Robin Knight ( 2002 , 2007 ) tillkännagett ett motexempel till Vaught-förmodan och den topologiska Vaught-förmodan . Från och med 2021 har motexemplet inte verifierats.

Uttalande av gissningen

₀₀ Låt $T$ vara en första ordningens, räknebar, komplett teori med oändliga modeller. Låt $I(T,\alpha )$ beteckna antalet modeller av T av kardinalitet $\alpha$ upp till isomorfism— spektrumet för teorin $T$ . Morley bevisade att om I ( T ,ℵ ) är oändlig så måste det vara ℵ eller ℵ1 _eller kontinuumets kardinalitet . Vaught-förmodan är påståendet att det inte är möjligt för $\aleph _{0}<I(T,\aleph _{0})<2^{\aleph _{0}}$ . Gissningen är en trivial konsekvens av kontinuumhypotesen ; så detta axiom är ofta uteslutet i arbetet med gissningarna. Alternativt finns det en skarpare form av gissningen som säger att varje räknebart komplett T med oräkneligt många räknebara modeller kommer att ha en perfekt uppsättning oräkneliga modeller (som påpekades av John Steel , i "On Vaught's conjecture". Cabal Seminar 76–77 (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77), s. 193–208, Lecture Notes in Math., 689, Springer, Berlin, 1978, denna form av Vaught-förmodan är likvärdig med originalet).

Ursprunglig formulering

Den ursprungliga formuleringen av Vaught angavs inte som en gissning, utan som ett problem: Kan det bevisas, utan användning av kontinuumhypotesen, att det finns en komplett teori med exakt ℵ ₁ icke-isomorfa numerbara modeller? Enligt resultatet av Morley som nämndes i början, motsvarar en positiv lösning på gissningen i huvudsak ett negativt svar på Vaughts problem som ursprungligen angavs.

Vaughts teorem

Vaught bevisade att antalet räknebara modeller av en komplett teori inte kan vara 2. Det kan vara vilket ändligt antal som helst annat än 2, till exempel:

Varje komplett teori med en finit modell har inga räknebara modeller.
Teorierna med bara en räknebar modell är de ω-kategoriska teorierna . Det finns många exempel på dessa, till exempel teorin om en oändlig mängd, eller teorin om en tät obegränsad total ordning .
₀₀ Ehrenfeucht gav följande exempel på en teori med 3 räknebara modeller: språket har en relation ≥ och ett räknebart antal konstanter c , c ₁ , ... med axiom som säger att ≥ är en tät obunden total ordning, och c < c ₁ < c ₂ < ... De tre modellerna skiljer sig åt beroende på om denna sekvens är obegränsad, eller konvergerar , eller är begränsad men inte konvergerar.
Ehrenfeuchts exempel kan modifieras för att ge en teori med valfritt ändligt antal n ≥ 3 av modeller genom att addera n − 2 unära relationer P _i till språket, med axiom som säger att för varje x är exakt en av P _i sann, värdena för y för vilka Pi ( y ) _är sant är täta, och P1 är _sant för alla ci _. Sedan delas modellerna för vilka sekvensen av element c _i konvergerar till en gräns c i n − 2 fall beroende på för vilket i relationen P _i ( c ) är sann.

Tanken med beviset för Vaughts sats är följande. Om det finns högst uträkneligt många räknebara modeller, så finns det en minsta: atommodellen, och en största, den mättade modellen , som är olika om det finns mer än en modell. Om de är olika måste den mättade modellen realisera någon n -typ som utelämnas av atommodellen. Sedan kan man visa att en atommodell av teorin om strukturer som realiserar denna n -typ (i ett språk utvidgat med ändligt många konstanter) är en tredje modell, inte isomorf till vare sig den atomära eller den mättade modellen. I exemplet ovan med 3 modeller är atommodellen den där sekvensen är obegränsad, den mättade modellen är den där sekvensen konvergerar, och ett exempel på en typ som inte realiseras av atommodellen är ett element som är större än alla element av sekvensen.

Topologisk Vaught gissning

Den topologiska Vaught-förmodan är påståendet att närhelst en polsk grupp agerar kontinuerligt på ett polskt utrymme , finns det antingen countably många banor eller kontinuum många banor. Den topologiska Vaught-förmodan är mer generell än den ursprungliga Vaught-förmodan: Givet ett räknebart språk kan vi bilda utrymmet för alla strukturer på de naturliga talen för det språket. Om vi utrustar detta med topologin som genereras av första ordningens formler, så är det känt från A. Gregorczyk , A. Mostowski , C. Ryll-Nardzewski , "Definability of sets of models of axiomatic theories" ( Bulletin of the Polish Academy of Sciences (serien Mathematics, Astronomy, Physics) , vol. 9 (1961), s. 163–7) att det resulterande utrymmet är polskt. Det finns en kontinuerlig verkan av den oändliga symmetriska gruppen (samlingen av alla permutationer av de naturliga talen med topologin för punktvis konvergens) som ger upphov till ekvivalensförhållandet för isomorfism. Givet en komplett första ordningens teori T , är uppsättningen strukturer som uppfyller T en minimal, sluten invariant uppsättning, och därmed polsk i sin egen rätt.

Se även

Knight, RW (2002), The Vaught Conjecture: A Counterexample , manuskript
Knight, RW (2007), "Categories of topological spaces and scattered theories" , Notre Dame Journal of Formal Logic , 48 (1): 53–77, doi : 10.1305/ndjfl/1172787545 , ISSN 0029-4527 , 9MR 727
R. Vaught, "Denumerable models of complete theories", Infinitistic Methods (Proc. Symp. Foundations Math., Warszawa, 1959) Warsaw/Pergamon Press (1961) s. 303–321
Harrington, Leo ; Makkai, Michael ; Shelah, Saharon (1984), "A proof of Vaught's conjecture for ω-stable theories", Israel Journal of Mathematics , 49 : 259–280, doi : 10.1007/BF02760651
Marker, David (2002), Model theory: An introduction , Graduate Texts in Mathematics, vol. 217, New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98760-6 , Zbl 1003.03034