Omega-kategorisk teori

Inom matematisk logik är en omega-kategorisk teori en teori som har exakt en countably oändlig modell upp till isomorfism . Omega-kategorisitet är specialfallet κ = $\aleph _{0}$ = ω av κ-kategorisitet , och omega-kategoriska teorier kallas också ω-kategoriska . Begreppet är viktigast för räkningsbara första ordningens teorier.

Motsvarande villkor för omega-kategori

Många villkor i en teori är likvärdiga med egenskapen omega-kategorisering. 1959 bevisade Erwin Engeler , Czesław Ryll-Nardzewski och Lars Svenonius flera oberoende. Trots detta hänvisar litteraturen fortfarande i stor utsträckning till Ryll-Nardzewski-satsen som ett namn för dessa tillstånd. Villkoren som ingår i satsen varierar mellan författare.

Givet en räknebar komplett första ordningens teori T med oändliga modeller, är följande ekvivalenta:

• Teorin T är omega-kategorisk.
• Varje räknebar modell av T har en oligomorf automorfismgrupp (det vill säga det finns ändligt många banor på M ⁿ för varje n ).
• Någon räknebar modell av T har en oligomorf automorfismgrupp.
• Teorin T har en modell som för varje naturligt tal n realiserar endast ändligt många n -typer, det vill säga stenrummet S _n ( T ) är ändligt.
• För varje naturligt tal n har T bara ändligt många n -typer .
• För varje naturligt tal n är varje n -typ isolerad .
• För varje naturligt tal n , upp till ekvivalens modulo T , finns det bara ändligt många formler med n fria variabler, med andra ord, för varje n är den n : te Lindenbaum–Tarski-algebra i T finit.
• Varje modell av T är atomär .
• Varje räknebar modell av T är atomär.
• Teorin T har en räknebar atomär och mättad modell .
• Teorin T har en mättad prime modell .

Exempel

Teorin om varje räkningsbart oändlig struktur som är homogen över ett ändligt relationsspråk är omega-kategorisk. Följande teorier är därför omega-kategoriska:

• Teorin om täta linjära ordningar utan ändpunkter ( Cantors isomorfismsats )
• Teorin om Rado-grafen
• Teorin om oändliga linjära utrymmen över vilket ändligt fält som helst

Anteckningar

•    Cameron, Peter J. (1990), Oligomorphic permutation groups , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol. 152, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-38836-8 , Zbl 0813.20002
•   Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1989) [1973], Model Theory , Elsevier, ISBN 978-0-7204-0692-4
•   Hodges, Wilfrid (1993), Model theory , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30442-9
•   Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
•   Macpherson, Dugald (2011), "A survey of homogeneous structures", Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , MR 2800979
•   Poizat, Bruno (2000), A Course in Model Theory: An Introduction to Contemporary Mathematical Logic , Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98655-5
•   Rothmaler, Philipp (2000), Introduction to Model Theory , New York: Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-313-9