Vätsketrådsbrott

Vätsketrådsbrytning är den process genom vilken en enda vätskemassa bryts i flera mindre vätskemassor. Processen kännetecknas av förlängningen av vätskemassan som bildar tunna, trådliknande områden mellan större vätskeknölar. De trådliknande områdena fortsätter att tunnas ut tills de går sönder och bildar individuella vätskedroppar.

Trådbrott sker där två vätskor eller en vätska i vakuum bildar en fri yta med ytenergi . Om det finns mer ytarea än det minimum som krävs för att innehålla vätskevolymen, har systemet ett överskott av ytenergi . Ett system som inte har det lägsta energitillståndet kommer att försöka omarrangeras så att det rör sig mot det lägre energitillståndet, vilket leder till att vätskan bryts upp i mindre massor för att minimera systemets ytenergi genom att minska ytarean. Det exakta resultatet av trådbrytningsprocessen beror på ytspänningen , viskositeten , densiteten och diametern på tråden som går sönder.

Historia

Leonardo da Vincis arbete som skrev:

"Hur vatten har seghet i sig och sammanhållning mellan sina partiklar. […] Detta ses när en droppe lossnar från resten, denna återstod sträcks ut så långt den kan genom tyngden av droppen som sträcker sig ut. den; och efter att droppen har skiljts från denna massa återvänder massan uppåt med en rörelse som strider mot tunga tings natur."

Han tillskrev således dropparnas fall till gravitationen och mekanismen som driver trådupplösning till sammanhållningen av vattenmolekyler.

Den första korrekta analysen av flytande trådbrott bestämdes kvalitativt av Thomas Young och matematiskt av Pierre-Simon Laplace mellan 1804 och 1805. De tillskrev korrekt drivkraften för trådbrott till ytspänningsegenskaper . Dessutom härledde de också vikten av medelkrökning vid skapandet av övertryck i vätskegängan. Genom sin analys visade de att ytspänning kan bete sig på två sätt: en elastisk mekanism som kan stödja en hängande droppe och en tryckmekanism på grund av kapillärt tryck som främjar trådbrott.

På 1820-talet studerade den italienske fysikern och vatteningenjören Giorgio Bidone deformationen av vattenstrålar som kommer från öppningar av olika former. Félix Savart följde 1833 med experimentellt arbete, med användning av den stroboskopiska tekniken för att kvantitativt mäta trådbrott. Han noterade att uppbrottet är en spontan process som sker utan yttre stimuli. Detta arbete gjorde det möjligt för honom att fastställa att droppar produceras från en stråle som strömmar från en tank med en distinkt hastighet omvänt proportionell mot munstycksradien och proportionell mot trycket i tanken. Dessa observationer underlättade Joseph Plateaus arbete som etablerade sambandet mellan jetupplösning och ytenergi . Platån kunde bestämma den mest instabila störningsvåglängden på vätsketråden, som senare reviderades av Lord Rayleigh för att ta hänsyn till jetdynamiken.

Då ytstörningen blir stor måste icke-linjär teori tillämpas. Beteendet hos jetplan med stora störningar undersöktes experimentellt av Magnus och Lenard . Deras experiment hjälpte till att karakterisera satellitdroppar, droppar som produceras utöver den stora huvuddroppen, genom införandet av höghastighetsfotografering. Höghastighetsfotografering är nu standardmetoden för att experimentellt analysera trådupplösning.

Med tillkomsten av större beräkningskraft har numeriska simuleringar börjat ersätta experimentella ansträngningar som det främsta sättet att förstå vätskeupplösning. Emellertid kvarstår svårigheter att exakt spåra den fria ytan hos många vätskor på grund av dess komplexa beteende. Den största framgången har skett med vätskor med låg och hög viskositet där gränsintegralmetoden kan användas eftersom Greenens funktion för båda fallen är känd. Dommermuth och Yue karakteriserade irroterande, inviscid flöde med denna metod liksom Schulkes gjorde. Youngren och Acrivos övervägde beteendet hos en bubbla i en vätska med hög viskositet. Stone och Leal utökade detta inledande arbete för att överväga dynamiken hos individuella droppar. För vätskor med medelviskositet krävs fullständiga simuleringar med Navier-Stokes ekvationer med metoder som bestämmer den fria ytan såsom nivåinställning och vätskevolym. Det tidigaste arbetet med fullständiga Navier-Stokes-simuleringar gjordes av Fromm som fokuserade på bläckstråleteknik . Sådana simuleringar är fortfarande ett aktivt forskningsområde.

Fysisk mekanism för trådupplösning

Processen som genomgår av en flytande tråd eller stråle som genomgår uppdelning från en större massa till en mindre massa.

Uppdelningsprocessen i en flytande tråd eller stråle börjar med utvecklingen av små störningar på den fria ytan av vätskan. Detta är känt som den linjära teorin om flytande trådbrott. Dessa störningar är alltid närvarande och kan genereras av många källor inklusive vibrationer i vätskebehållaren eller ojämnhet i skjuvspänningen på den fria ytan. I allmänhet tar dessa störningar en godtycklig form och är därför svåra att noggrant överväga. Det är därför till hjälp att ta en Fourier-transform av störningarna för att dekomponera de godtyckliga störningarna till störningar av olika enstaka våglängder på ytan av tråden. På så sätt kan man bestämma vilka våglängder av störningen som kommer att växa och vilka som kommer att avta med tiden.

Våglängdernas tillväxt och avklingning kan bestämmas genom att undersöka tryckändringen som en störningsvåglängd utsätter för det inre av vätsketråden. Ändringar av gängans inre tryck induceras av kapillärtryck när den fria ytan på gängan deformeras. Kapillärtrycket är en funktion av medelkrökning vid en given plats vid ytan, vilket betyder att trycket är beroende av de två krökningsradier som ger ytans form. Inom det förtunnade området av en flytande tråd som går sönder är den första krökningsradien mindre än krökningsradien i det förtjockade området, vilket leder till en tryckgradient som skulle tendera att tvinga vätska från de förtunnade till förtjockade områdena. Den andra krökningsradien förblir dock viktig för uppdelningsprocessen. För vissa störningsvåglängder kan effekten av den andra krökningsradien övervinna tryckeffekten av den första krökningsradien, vilket inducerar ett större tryck i de förtjockade områdena än de förtunnade områdena. Detta skulle trycka tillbaka vätskan mot de förtunnade områdena och tendera att återföra tråden till sin ursprungliga, ostörda form. För andra störningsvåglängder kommer emellertid kapillärtrycket som induceras av den andra krökningsradien att förstärka det för den första krökningsradien. Detta kommer att driva vätska från de förtunnade till de förtjockade områdena och ytterligare främja trådbrott.

Krökningsradier i en tråd som genomgår brytningsprocessen. Blått representerar den första krökningsradien och rött den andra krökningsradien vid de förtunnade och förtjockade ställena.

Våglängden för störningen är därför den kritiska parametern för att bestämma om en given vätsketråd kommer att brytas upp i mindre mängder vätska. En rigorös matematisk undersökning av störningsvåglängderna kan leda till ett samband som visar vilka våglängder som är stabila för en given tråd samt vilka störningsvåglängder som kommer att växa snabbast. Storleken på vätskemassorna som är ett resultat av brytningen av en vätsketråd kan approximeras av våglängderna för störningen som växer snabbast.

Icke-linjärt beteende

Medan linjär teori är användbar för att överväga tillväxten av små störningar på den fria ytan, när störningarna växer till att ha en betydande amplitud, börjar icke-linjära effekter att dominera uppbrottsbeteendet. Trådens icke-linjära beteende styr dess slutliga brytning och bestämmer slutligen den slutliga formen och antalet av de resulterande vätskemassorna.

Icke-linjäritet fångas genom användningen av självlikhet . Självlikhet antar att vätsketrådens beteende när radien närmar sig noll är detsamma som vätsketrådens beteende när den har någon ändlig radie. Detaljerad förståelse av icke-linjär trådbeteende kräver användning av asymptotiska expansioner för att generera lämpligt skalningsbeteende. Många lösningar har hittats för det icke-linjära beteendet hos flytande trådar baserat på de krafter som är relevanta under särskilda omständigheter.

Viktiga parametrar

Hur en flytande tråd eller jet går sönder styrs av flera parametrar, bland annat Reynolds-talet , Weber-numret , Ohnesorge-talet och störningsvåglängden . Även om dessa siffror är vanliga inom vätskemekanik, måste parametrarna som väljs som skalor vara lämpliga för trådbrott. Den längdskalan som oftast väljs är vätsketrådens radie, medan hastigheten oftast anses vara hastigheten för bulkvätskans rörelse. Dessa skalor kan dock ändras baserat på egenskaperna hos det övervägda problemet.

Reynolds-talet är förhållandet mellan tröghet och viskösa effekter i tråden. För stora Reynolds-tal är effekterna av trådens rörelse mycket större än viskös avledning. Viskositeten har endast en minimal dämpande effekt på gängan. För små Reynolds-tal är den viskösa avledningen stor och eventuella störningar dämpas snabbt från gängan.

Webertalet är förhållandet mellan tröghets- och ytspänningseffekter inom tråden. När Weber-talet är stort är trådens tröghet stor vilket motverkar tendensen av ytspänning att platta till böjda ytor. För små Weber-tal är förändringarna i kapillärtrycket på grund av ytstörningarna stora och ytspänningen dominerar trådbeteendet.

Ohnesorge-talet är förhållandet mellan viskösa och ytspänningseffekter i tråden. Eftersom det eliminerar effekterna av tröghet och behovet av en hastighetsskala, är det ofta bekvämare att uttrycka skalningsförhållanden i termer av Ohnesorge-talet snarare än Reynolds- och Weber-numret individuellt.

Störningsvåglängden är den karakteristiska längden av störningen på strålens yta, förutsatt att varje godtycklig störning kan brytas ned via en Fouriertransform till dess konstitutiva komponenter. Våglängden på störningen är avgörande för att avgöra om en viss störning kommer att växa eller avta med tiden.

Speciella fall

Linjär stabilitet hos inviscid vätskor

Den linjära stabiliteten hos vätskor med låg viskositet härleddes först av Plateau 1873. Men hans lösning har blivit känd som Rayleigh-Plateau-instabiliteten på grund av att Lord Rayleighs teori utvidgades till att omfatta vätskor med viskositet. Rayleigh-Plateau instabilitet används ofta som ett introduktionsfall till hydrodynamisk stabilitet såväl som störningsanalys.

Plateau betraktade stabiliteten hos en vätska när endast tröghets- och ytspänningseffekter var närvarande. Genom att sönderdela en godtycklig störning på den fria ytan i dess konstitutiva övertoner/våglängder kunde han härleda ett villkor för strålens stabilitet i termer av störningen:

$\omega ^{2}={\frac {\sigma k}{\rho a ^{2}}}{\frac {I_{1}(ka)}{I_{0}(ka)}}\left(1-k^{2}a^{2}\right),$

där ω är tillväxthastigheten för störningen, σ är vätskornas ytspänning, k är vågnumret för störningen, ρ är vätskedensiteten, a är den initiala radien för den ostörda vätskan och I är den modifierade Bessel-funktionen för den första sorten. Genom att beräkna tillväxthastigheten som en funktion av vågnummer kan man fastställa att den snabbast växande störningsvåglängden inträffar vid:

$\lambda _{\text{max}}\approx 9.02a.$

Våglängden för maximal instabilitet ökar när radien på vätsketråden ökar. Lika viktigt är instabila lägen endast möjliga när:

$ka<1.$

Linjär stabilitet hos viskösa vätskor

Reynolds och senare Tomotika utökade Plateaus arbete för att överväga den linjära stabiliteten hos viskösa trådar. Rayleigh löste stabiliteten hos en viskös tråd med viskositet $\mu _{A}$ utan närvaro av en extern vätska. Tomokita löste stabiliteten hos en flytande tråd i närvaro av en extern vätska med sin egen viskositet $\mu _{B}$ . Han övervägde tre fall där viskositeten hos den flytande tråden var mycket större än den yttre miljön, den yttre miljöns viskositet var mycket större än den flytande tråden, och det allmänna fallet där vätskorna har godtycklig viskositet.

Flytande tråd mycket viskös

För det begränsande fallet där vätsketråden är mycket mer trögflytande än den yttre miljön, faller den yttre miljöns viskositet från tillväxthastigheten helt. Tillväxthastigheten blir således endast en funktion av trådens initiala radie, störningsvåglängden, trådens ytspänning och trådens viskositet.

$\omega ={\frac {\sigma \left(k^{2}a^{2}-1\right)}{2a\mu _{A}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+ 1-k^{2}a^{2}I_{0}^{2}(ka)/I_{1}^{2}(ka)}}$

Genom att plotta detta finner man att de längsta våglängderna är de mest instabila. Lika viktigt kan man notera att den flytande trådens viskositet inte påverkar vilka våglängder som kommer att vara stabila. Viskositeten verkar bara för att minska hur snabbt en given störning kommer att växa eller avta med tiden.

Exempel på när det här fallet skulle gälla är när nästan vilken vätska som helst genomgår tråd-/strålebrytning i en luftmiljö.

Extern vätska mycket viskös

För det begränsande fallet där den yttre omgivningen av vätsketråden är mycket mer viskös än själva gängan, faller vätsketrådens viskositet från störningstillväxthastigheten helt. Tillväxthastigheten blir alltså endast en funktion av trådens initiala radie, störningsvåglängden, trådens ytspänning, den yttre miljöns viskositet och andra ordningens Bessel-funktioner av det andra slaget .

$\omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}{\frac {1}{k^{2}a^{2}+ 1-k^{2}a^{2}K_{0}^{2}(ka)/K_{1}^{2}(ka)}}$

Om man skulle plotta tillväxthastigheten som en funktion av störningsvåglängden, skulle man finna att de mest instabila våglängderna återigen inträffar vid de längsta våglängderna och att den yttre miljöns viskositet bara skulle verka för att minska hur snabbt en störning skulle växa eller förfalla i tiden.

Exempel på när detta fall skulle gälla är när gasbubblor kommer in i en vätska eller när vatten faller ner i honung.

Allmänt fall - godtyckligt viskositetsförhållande

Det allmänna fallet för två viskösa vätskor är mycket svårare att lösa direkt. Tomotika uttryckte sin lösning som:

$\omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right) }{2a\mu _{B}}}\Phi (ka)$

där $\Phi$ definierades som:

${\begin{aligned}\Phi (ka)={}&{\frac {N(ka)}{D(ka)}}\\N(ka)={}&I_{1 }(ka)\Delta _{1}-\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{2}\\D(ka)={}&{\frac { \mu _{A}}{\mu _{B}}}\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{1}-{\frac {\mu _{ A}}{\mu _{B}}}\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)I_{1}(ka)-kaI_{0}(ka)\ höger\}\Delta _{2}\\&-\{kaK_{0}(ka)+K_{1}(ka)\}\Delta _{3}-\left\{\left(k^{2 }a^{2}+1\right)K_{1}(ka)+kaK_{0}(ka)\right\}\Delta _{4}\end{aligned}}$

Δ $\displaystyle \Delta }$ -koefficienterna uttrycks enklast som determinanter för följande matriser:

${\begin{aligned}\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0 }(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{ 1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka) \end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_ {1}(ka)\\I_{0}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _ {A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _ {3}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka) \\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _ {A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&- kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{4}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1 }(ka)&K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)\\{\frac { \mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{a}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka )&K_{1}(ka)\end{vmatrix}}\end{aligned}}$

Den resulterande lösningen förblir en funktion av både trådens och yttre omgivningens viskositet såväl som störningsvåglängden. Den mest instabila kombinationen av viskositeter och störningar uppstår när $\mu _{A}/\mu _{B}\approx 0,28$ med $\lambda \approx 10,66 a$ .

För de flesta tillämpningar är användningen av det allmänna fallet onödigt eftersom de två vätskorna i fråga har signifikant olika viskositeter, vilket tillåter användningen av ett av de begränsande fallen. Vissa fall som blandning av oljor eller oljor och vatten kan dock kräva användning av det allmänna fallet.

Satellit droppbildning

Vatten rinner från en kran och producerar både en enda stor droppe och flera satellitdroppar.

Satellitdroppar, även kända som sekundära droppar, är de droppar som produceras under trådbrytningsprocessen förutom den stora huvuddroppen. Dropparna uppstår när filamentet genom vilket huvuddroppen som hänger från den större vätskemassan själv bryter av från vätskemassan. Vätskan som finns i glödtråden kan stanna som en enda massa eller sönderfalla på grund av rekylstörningarna som åläggs den genom separationen av huvuddroppen. Även om produktionen av satellitdroppar kan förutsägas baserat på vätskeegenskaper, kan deras exakta plats och volym inte förutsägas.

I allmänhet är sekundära droppar ett oönskat fenomen, särskilt i applikationer där exakt avsättning av droppar är viktigt. Produktionen av satellitdroppar styrs av problemets icke-linjära dynamik nära slutskedet av tråduppbrytningen.

Exempel

Honungens viskositet är tillräckligt stor för att dämpa alla ytstörningar som skulle leda till att tråden bryts upp i droppar.

Det finns många exempel på att flytande trådar går sönder i det dagliga livet. Det är ett av de vanligaste vätskemekaniska fenomenen man upplever och som sådant tänker de flesta på processen.

Flöda från en kran

Droppande vatten är en vardaglig händelse. När vattnet lämnar kranen börjar glödtråden som är fäst vid kranen att halsa ner, så småningom till den punkt att huvuddroppen lossnar från ytan. Glödtråden kan inte dras tillbaka tillräckligt snabbt till kranen för att förhindra sönderdelning och sönderdelas därför i flera små satellitdroppar.

Luftbubblor

Luftbubblor är ett annat vanligt upplösningsfenomen. När luft kommer in i en tank med vätska, som en akvarium, halsar tråden igen vid basen för att producera en bubbla. Att blåsa bubblor från ett sugrör i ett glas beter sig på ungefär samma sätt.

Pitch drop experiment

Pitch drop-experimentet är ett berömt vätskeupplösningsexperiment som använder högviskös tjärbeck. Upplösningshastigheten bromsas till en sådan grad att endast 11 droppar har fallit sedan 1927.

Droppar honung

Honung är tillräckligt viskös för att ytstörningarna som leder till sönderdelning nästan helt dämpas av honungstrådar. Detta resulterar i produktion av långa filament av honung snarare än enskilda droppar.