Koebes kvartssats

I komplex analys , en gren av matematiken , säger Koebe 1/4-satsen följande:

Koebe Quarter Theorem. Bilden av en injektiv analytisk funktion $f:\mathbf {D} \to \mathbb {C}$ från enhetsskivan $\mathbf {D}$ till en delmängd av komplexet planet innehåller skivan vars centrum är $f(0)$ och vars radie är $|f'(0)|/4$ .

Satsen är uppkallad efter Paul Koebe , som gissade resultatet 1907. Satsen bevisades av Ludwig Bieberbach 1916. Exemplet med Koebe-funktionen visar att konstanten $1/4$ i satsen inte kan vara förbättrad (ökad).

Ett relaterat resultat är Schwarz-lemma , och en föreställning relaterad till båda är konform radie .

Grönwalls areasats

Anta att

g(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2 }+\cdots

är univalent i $|z|>1$ . Sedan

\sum _{n\geq 1}n|b_{n}|^{2}\leq 1.

Faktum är att om $r>1$ , komplementet till bilden av disken $|z|>r$ är en avgränsad domän $X(r)$ . Dess område ges av

\int _{X(r)}dx\,dy={1 \over 2i}\int _{\partial X(r)}{\overline {z}}\,dz={1 \over 2i }\int _{|z|=r}{\overline {g}}\,dg=\pi r^{2}-\pi \sum n|b_{n}|^{2}r^{-2n }.

Eftersom arean är positiv följer resultatet genom att låta $r$ minska till $1$ . Ovanstående bevis visar att likhet gäller om och endast om komplementet till bilden av $g$ har noll area, dvs Lebesgue-måttet noll.

Detta resultat bevisades 1914 av den svenske matematikern Thomas Hakon Grönwall .

Koebe funktion

Koebe -funktionen definieras av

f(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\summa _{n=1}^{\infty }nz^{n}

Tillämpning av satsen på denna funktion visar att konstanten $1/4$ i satsen inte kan förbättras, eftersom bilddomänen $f(\mathbf {D} )$ inte gör det innehåller punkten $\displaystyle z=-1/4}$ $1/4$ därför inte innehålla någon skiva centrerad på $0$ radie större än .

Den roterade Koebe-funktionen är

f_{\alpha }(z)={\frac {z}{(1-\ alpha z)^{2}}}=\summa _{n=1}^{\infty }n\alpha ^{n-1}z^{n}

med $\alpha$ ett komplext tal med absolutvärdet $1$ . Koebe-funktionen och dess rotationer är schlicht : det vill säga univalent (analytisk och en-till-en ) och uppfyller $f(0)=0$ och $f' (0)=1$ .

Bieberbachs koefficientolikhet för univalenta funktioner

Låta

g(z)=z+a_{2}z^{2}+a_{3}z^{3}+\cdots

vara univalent i $|z|<1$ . Sedan

|a_{2}|\leq 2.

Detta följer genom att tillämpa Gronwalls areasats på den udda envärda funktionen

g(z^{-2})^{-1/2}=z-{1 \over 2}a_{2}z^{-1}+\cdots .

Likhet gäller om och endast om $g$ är en roterad Koebe-funktion.

Detta resultat bevisades av Ludwig Bieberbach 1916 och utgjorde grunden för hans hyllade gissningar att $|a_{n}|\leq n$ , bevisad 1985 av Louis de Branges .

Bevis på kvartssatsen

Att tillämpa en affin karta kan antas att

f(0)=0,\,\,\,f^{\prime }(0)=1,

så att

f(z)=z+a_{2}z^{2}+\cdots .

Om $w$ inte är i ${\displaystyle f(\mathbf {D} )} ,$ då

h(z)={wf(z) \over wf(z) }=z+(a_{2}+w^{-1})z^{2}+\cdots

är univalent i $|z|<1$ .

Att tillämpa koefficientolikheten på $f$ och $h$ ger

|w|^{-1}\leq |a_{2}|+|a_{2}+w^{-1}|\leq 4,

så att

|w|\geq {1 \över 4}.

Koebes distorsionssats

Koebes distorsionssats ger en serie gränser för en envärd funktion och dess derivata. Det är en direkt följd av Bieberbachs olikhet för den andra koefficienten och Koebes fjärdedelssats.

Låt $f(z)$ vara en univalent funktion på $|z|<1$ normaliseras så att $f(0)=0$ och $f'(0)=1$ och låt $r=|z|$ . Sedan

{r \over (1+r)^{2}}\leq |f(z)|\leq {r \over (1-r)^{2}}

{1-r \over (1+r)^{3}}\leq |f^{\prime }(z)|\leq {1+r \over (1-r)^{3}}

{1-r \over 1+r}\leq \left|z{f^{\prime }(z) \over f(z)}\right|\leq {1 +r \över 1-r}

med likhet om och endast om $f$ är en Koebe-funktion

f(z)={z \over (1-e^{i\theta}z)^{2}}.

Anteckningar

Bieberbach, Ludwig (1916), "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln", S.-B. Preuss. Akad. Wiss. : 940–955
Carleson, L .; Gamelin, TDW (1993), Complex dynamics , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, s. 1–2 , ISBN 0-387-97942-5
Conway, John B. (1995), Functions of One Complex Variable II , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94460-9
Duren, PL (1983), Univalent functions , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 259, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
Gronwall, TH (1914), "Some remarks on conformal representation", Annals of Mathematics , 16 : 72–76, doi : 10.2307/1968044
Nehari, Zeev (1952), Conformal mapping , Dover, s. 248–249 , ISBN 0-486-61137-X
Pommerenke, C. (1975), Univalenta funktioner, med ett kapitel om kvadratiska differentialer av Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht
Rudin, Walter (1987). Verklig och komplex analys . Series in Higher Mathematics (3 uppl.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1 . MR 0924157 .

externa länkar

Koebe 1/4-sats vid PlanetMath