Typiskt underrum

I kvantinformationsteorin spelar idén om ett typiskt delrum en viktig roll i bevisen för många kodningssatser (det mest framträdande exemplet är Schumacher-komprimering). Dess roll är analog med den typiska uppsättningen i klassisk informationsteori .

Ovillkorlig kvanttypiskhet

Betrakta en densitetsoperator $\rho$ med följande spektrala nedbrytning :

$\rho =\summa _{x}p_{X}(x)\vert x\rangle \langle x\vert .$

Det svagt typiska delutrymmet definieras som spännvidden för alla vektorer så att proventropin ${\overline {H}}(x^{n})$ för deras klassiska etikett är nära den sanna entropi $H(X)$ av fördelningen $p_{X}(x)$ :

$T_{\delta }^{X^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert x^{n}\right\rangle :\left\ vert {\overline {H}}(x^{n})-H(X)\right\vert \leq \delta \right\},$

var

${\overline {H}}(x^{n})\equiv -{\frac {1}{n }}\log(p_{X^{n}}(x^{n})),$

$H(X)\equiv -\summa _{x}p_{X}(x)\log p_{X}(x).$

Projektorn $\Pi _{\rho ,\delta }^{n}$ på det typiska delrummet av $\rho$ definieras som

$\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\equiv \sum _{x^{n}\in T_{\delta }^{X^{n}}}\vert x^{ n}\rangle \langle x^{n}\vert ,$

där vi har "överbelastat" symbolen $T_{\delta }^{X^{n}}$ för att även referera till mängden $\delta$ -typiska sekvenser:

$T_{\delta }^{X^{n}}\equiv \left\{x^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(x^{n}\right) -H(X)\right\vert \leq \delta \right\}.$

De tre viktiga egenskaperna hos en typisk projektor är följande:

${\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\rho ^{\otimes n}\right\}\geq 1-\epsilon ,$

${\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho ,\delta }^{n}\right\}\leq 2^{n\left[H\left(X\right)+\delta \right]},$

$2$

där den första egenskapen gäller för godtycklig $\epsilon ,\delta >0$ och tillräckligt stor $n$ .

Villkorlig kvanttypitet

Betrakta en ensemble $\left\{p_{X}(x),\rho _{x}\right\}_{x\in {\mathcal { X}}}$ av stater. Antag att varje tillstånd $\rho _{x}$ har följande spektrala nedbrytning :

$\rho _{x}=\summa _{y}p_{Y|X}(y|x)\vert y_{x}\rangle \langle y_{x}\vert .$

Betrakta en densitetsoperator $\rho _{x^{n}}$ som är villkorad av en klassisk sekvens $x^{n}\equiv x_{1} \cdots x_{n}$ :

$\rho _{x^{n}}\equiv \rho _{x_{1}}\otimes \cdots \otimes \rho _{x_{n}}.$

Vi definierar det svaga villkorligt typiska delutrymmet som spännvidden av vektorer (villkorat av sekvensen $x^{n}$ ) så att provet villkorliga entropin ${\overline {H}}(y^{n}|x^{n})$ av deras klassiska etiketter är nära den sanna villkorliga entropin $H(Y|X)$ för fördelningen $p_{Y|X}(y|x)p_{X}(x)$ :

$T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv {\text{span}}\left\{\left\vert y_{x^{n} }^{n}\right\rangle :\left\vert {\overline {H}}(y^{n}|x^{n})-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \ höger\},$

var

${\overline {H}}(y^{n}|x^ {n})\equiv -{\frac {1}{n}}\log \left(p_{Y^{n}|X^{n}}(y^{n}|x^{n})\ höger),$

$H(Y|X)\ekvivalent -\summa _{x}p_{X}(x)\summa _{y}p_{Y|X}(y|x)\log p_{Y|X} (y|x).$

Projektorn $\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }$ på det svaga villkorligt typiska delrummet av $\displaystyle \rho _{x^{ n}}}$ { är som följer:

$\Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\equiv \sum _{y^{n}\in T_{\delta }^{Y^{n}|x^ {n}}}\vert y_{x^{n}}^{n}\rangle \langle y_{x^{n}}^{n}\vert ,$

där vi återigen har överbelastat symbolen $T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}$ för att hänvisa till uppsättningen av svaga villkorligt typiska sekvenser:

$T_{\delta }^{Y^{n}|x^{n}}\equiv \left\{y^{n}:\left\vert {\overline {H}}\left(y^ {n}|x^{n}\right)-H(Y|X)\right\vert \leq \delta \right\}.$

De tre viktiga egenskaperna hos den svaga villkorligt typiska projektorn är följande:

$\mathbb {E} _{X^{n}}\left\{{\text{Tr}}\ vänster\{\Pi _{\rho _{X^{n}},\delta}\rho _{X^{n}}\right\}\right\}\geq 1-\epsilon ,$

${\text{Tr}}\left\{\Pi _{\rho _{x^{n}},\ delta }\right\}\leq 2^{n\left[H(Y|X)+\delta \right]},$

$2^{-n\left[H(Y |X)+\delta \right]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\ \rho _{x^{n}}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta }\leq 2^{-n\left[H(Y|X)-\delta \right ]}\ \Pi _{\rho _{x^{n}},\delta },$

där den första egenskapen gäller för godtycklig $\epsilon ,\delta >0$ och tillräckligt stor $n$ , och förväntan är med avseende på fördelningen ${\ displaystyle p_{X^{n}}(x^{n})}$ .

Se även

• Klassisk kapacitet
• Kvantinformationsteori

• Wilde, Mark M., 2017, Quantum Information Theory, Cambridge University Press , även tillgänglig på eprint arXiv:1106.1145